Cirkels zijn overal in de echte wereld, daarom zijn hun stralen, diameters en omtrek belangrijk in echte toepassingen. Maar er zijn andere delen van cirkels – sectoren en hoeken bijvoorbeeld – die ook belangrijk zijn in alledaagse toepassingen. Voorbeelden zijn sectorgroottes van cirkelvormig voedsel zoals cakes en taarten, de afgelegde hoek in een reuzenrad, de maatvoering van een band voor een bepaald voertuig en vooral de maatvoering van een ring voor een verloving of bruiloft. Om deze redenen en meer heeft geometrie ook vergelijkingen en probleemberekeningen die te maken hebben met centrale hoeken, bogen en sectoren van een cirkel.
Wat is de centrale hoek?
De centrale hoek wordt gedefinieerd als de hoek die wordt gecreëerd door twee stralen of stralen die uitstralen vanuit het middelpunt van een cirkel, waarbij het middelpunt van de cirkel het hoekpunt van de centrale hoek is. Centrale hoeken zijn met name relevant als het gaat om het gelijkmatig verdelen van pizza of ander circulair voedsel over een bepaald aantal mensen. Stel dat er vijf mensen zijn op een soiree waar een grote pizza en een grote taart gedeeld moeten worden. In welke hoek moeten zowel de pizza als de cake verdeeld worden om voor iedereen een gelijk stuk te krijgen? Aangezien er 360 graden in een cirkel zijn, wordt de berekening 360 graden gedeeld door 5 om op 72 graden te komen, zodat elke plak, of het nu de pizza of de cake is, een centrale hoek heeft, of theta (θ), die 72. meet graden.
De centrale hoek bepalen op basis van de booglengte
Een boog van de cirkel verwijst naar een "deel" van de omtrek van de cirkel. De booglengte is daarom de lengte van dat "gedeelte". Als je je een pizzapunt voorstelt, kan het sectorgebied zijn gevisualiseerd als het hele stuk pizza, maar de booglengte is daarvoor de lengte van de buitenrand van de korst bepaald stuk. Uit de booglengte kan de middelpuntshoek worden berekend. Inderdaad, een formule die kan helpen bij het bepalen van de centrale hoek stelt dat de booglengte (s) gelijk is aan de straal maal de centrale hoek, of
s = r × θ
waarbij de hoek, theta, moet worden gemeten in radialen. Dus om de centrale hoek, theta, op te lossen, hoef je alleen de booglengte te delen door de straal, of
\frac{s}{r} =
Ter illustratie: als de booglengte 5,9 is en de straal 3,5329, dan wordt de centrale hoek 1,67 radialen. Een ander voorbeeld is dat als de booglengte 2 is en de straal 2 is, de centrale hoek 1 radiaal wordt. Als je radialen naar graden wilt converteren, onthoud dan dat 1 radiaal gelijk is aan 180 graden gedeeld door π, oftewel 57,2958 graden. Omgekeerd, als een vergelijking vraagt om graden terug om te zetten in radialen, vermenigvuldig dan eerst met π en deel dan door 180 graden.
De centrale hoek bepalen vanuit het sectorgebied
Een andere handige formule om de centrale hoek te bepalen, wordt geleverd door het sectorgebied, dat weer kan worden gevisualiseerd als een stuk pizza. Deze specifieke formule kan op twee manieren worden gezien. De eerste heeft de middelpuntshoek gemeten in graden, zodat het sectorgebied gelijk is aan π maal de straal in het kwadraat en vervolgens vermenigvuldigd met de hoeveelheid van de centrale hoek in graden gedeeld door 360 graden. Met andere woorden:
πr^2 × \frac{\text{middelpuntshoek in graden}}{360 \text{ graden}} = \text{sectorgebied}
Als de centrale hoek wordt gemeten in radialen, wordt de formule in plaats daarvan:
\text{sectorgebied} = r^2 × \frac{\text{middelpuntshoek in radialen}}{2}
Het herschikken van de formules zal helpen om de waarde van de centrale hoek of theta op te lossen. Beschouw een sectorgebied van 52,3 vierkante centimeter met een straal van 10 centimeter. Wat zou de middelpuntshoek zijn in graden? De berekeningen zouden beginnen met een sectoroppervlak van 52,3 vierkante centimeter dat gelijk is aan:
\frac{θ}{360 \text{ graden}} × πr^2
Aangezien de straal (r) gelijk is aan 10, kan de hele vergelijking worden geschreven als:
\frac{52.3}{100π} × 360
zodat theta kan worden geschreven als:
\frac{52.3}{314} × 360
Het uiteindelijke antwoord wordt dus een centrale hoek van 60 graden.