Laten we zeggen dat je een functie hebt, y = f (x), waarbij y een functie is van x. Het maakt niet uit wat de specifieke relatie is. Het kan y = x ^ 2 zijn, bijvoorbeeld een eenvoudige en bekende parabool die door de oorsprong gaat. Het kan y = x ^ 2 + 1 zijn, een parabool met een identieke vorm en een hoekpunt één eenheid boven de oorsprong. Het kan een complexere functie zijn, zoals y = x ^ 3. Ongeacht wat de functie is, een rechte lijn die door twee willekeurige punten op de curve gaat, is een secanslijn.
Neem de x- en y-waarden voor twee willekeurige punten waarvan u weet dat ze op de curve liggen. Punten worden gegeven als (x-waarde, y-waarde), dus het punt (0, 1) betekent het punt op het Cartesiaanse vlak waar x = 0 en y = 1. De kromme y = x ^ 2 + 1 bevat het punt (0, 1). Het bevat ook het punt (2, 5). U kunt dit bevestigen door elk paar waarden voor x en y in de vergelijking in te vullen en ervoor te zorgen dat de vergelijking beide keren in evenwicht is: 1 = 0 + 1, 5 = 2 ^ 2 + 1. Zowel (0, 1) als (2, 5) zijn punten van de curve y = x ^ 2 +1. Een rechte lijn ertussen is een secans en zowel (0, 1) als (2, 5) zullen ook deel uitmaken van deze rechte lijn.
Bepaal de vergelijking voor de rechte lijn die door beide punten gaat door waarden te kiezen die voldoen aan de vergelijking y = mx + b -- de algemene vergelijking voor elke rechte lijn -- voor beide punten. Je weet al dat y = 1 als x 0 is. Dat betekent 1 = 0 + b. Dus b moet gelijk zijn aan 1.
Vervang de waarden voor x en y op het tweede punt in de vergelijking y = mx + b. Je weet y = 5 als x = 2 en je weet b = 1. Dat geeft je 5 = m (2) + 1. Dus m moet gelijk zijn aan 2. Nu weet je zowel m als b. De snijlijn tussen (0, 1) en (2, 5) is y = 2x + 1
Kies een ander paar punten op uw curve en u kunt een nieuwe snijlijn bepalen. Op dezelfde curve, y = x ^ 2 + 1, zou je het punt (0, 1) kunnen nemen zoals je eerder deed, maar deze keer selecteer je (1, 2) als het tweede punt. Zet (1, 2) in de vergelijking voor de curve en je krijgt 2 = 1 ^ 2 + 1, wat duidelijk correct is, dus je weet dat (1, 2) ook op dezelfde curve zit. De snijlijn tussen deze twee punten is y = mx + b: Als u 0 en 1 invult voor x en y, krijgt u: 1 = m (0) + b, dus b is nog steeds gelijk aan één. Als u de waarde voor het nieuwe punt (1, 2) invoert, krijgt u 2 = mx + 1, die in evenwicht is als m gelijk is aan 1. De vergelijking voor de snijlijn tussen (0, 1) en (1, 2) is y = x + 1.
Referenties
- University of California, Santa Barbara: secanslijnen, raaklijnen en limietdefinitie van een derivaat.
- Wolfram Math World: Secant Line
Tips
- Merk op dat de secanslijn verandert als u een tweede punt aanwijst dat dichter bij het eerste punt ligt. Je kunt altijd een punt op de curve kiezen dat dichterbij is dan voorheen en een nieuwe secanslijn krijgen. Naarmate je tweede punt steeds dichter bij je eerste punt komt, nadert de snijlijn tussen de twee de raaklijn aan de curve op het eerste punt.
Over de auteur
Andrew Breslin schrijft professioneel sinds 1994. Zijn artikelen en opiniestukken zijn verschenen in de "South Florida Sun Sentinel", "St Paul Pioneer Press", "Detroit Free Press", "Charlotte Observer", "Good Medicine" en anderen. Hij studeerde moleculaire biologie aan de Westchester University en schrijft regelmatig over wetenschap en wiskunde.
Fotocredits
Jupiterimages/Photos.com/Getty Images