Als je eenmaal begint met het oplossen van algebraïsche vergelijkingen waarbij veeltermen betrokken zijn, wordt de mogelijkheid om speciale, gemakkelijk te ontbinden vormen van veeltermen te herkennen erg handig. Een van de meest bruikbare "gemakkelijke" polynomen om te herkennen is het perfecte vierkant, of de trinominaal die het resultaat is van het kwadrateren van een binomiaal. Als u eenmaal een perfect vierkant hebt geïdentificeerd, is het vaak een essentieel onderdeel van het probleemoplossingsproces om het in zijn afzonderlijke componenten te verwerken.
Voordat je een perfecte vierkante trinominaal kunt ontbinden, moet je hem leren herkennen. Een perfect vierkant kan twee vormen aannemen
a^2 + 2ab + b^2 \text{, wat het product is van } (a + b)(a + b) = (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 \text {, wat het product is van } (a - b)(a - b) = (a - b)^2
Controleer de eerste en derde termen van de trinominaal. Zijn het beide vierkanten? Zo ja, zoek uit waar ze vierkanten van zijn. Bijvoorbeeld in het tweede voorbeeld van de "echte wereld" hierboven:
j^2 - 2j + 1
de voorwaardeja2 is duidelijk het kwadraat vanj.De term 1 is, misschien minder duidelijk, het kwadraat van 1, omdat 12 = 1.
Vermenigvuldig de wortels van de eerste en derde termen met elkaar. Om het voorbeeld voort te zetten, dat isjaen 1, wat jeja × 1 = 1jaof gewoonja.
Vermenigvuldig vervolgens je product met 2. Voortzetting van het voorbeeld, je hebt 2j.
Vergelijk ten slotte het resultaat van de laatste stap met de middelste term van de polynoom. Komen ze overeen? In de polynoomja2 – 2ja+ 1, dat doen ze. (Het teken is niet relevant; het zou ook een match zijn als de middenterm +2. wasja.)
Omdat het antwoord in stap 1 "ja" was en je resultaat van stap 2 overeenkomt met de middelste term van de polynoom, weet je dat je naar een perfecte vierkante trinominaal kijkt.
Als je eenmaal weet dat je naar een perfecte vierkante trinominaal kijkt, is het ontbinden ervan vrij eenvoudig.
Identificeer de wortels, of de getallen die worden gekwadrateerd, in de eerste en derde termen van de trinominaal. Overweeg een ander voorbeeld van je trinomialen waarvan je al weet dat het een perfect vierkant is:
x^2 + 8x + 16
Het is duidelijk dat het getal dat in de eerste term wordt gekwadrateerd, isX. Het kwadraatgetal in de derde term is 4, omdat 42 = 16.
Denk terug aan de formules voor perfecte vierkante trinomialen. U weet dat uw factoren de vorm aannemen (een + b)(een + b) of het formulier (een – b)(een – b), waar?eenenbzijn de getallen die worden gekwadrateerd in de eerste en derde termen. U kunt uw factoren dus zo uitschrijven, waarbij u voorlopig de tekens in het midden van elke term weglaat:
(een \,? \,b)(een \,? \,b) = a^2 \,?\, 2ab + b^2
Om het voorbeeld voort te zetten door de wortels van je huidige trinominaal te vervangen, heb je:
(x \,?\, 4)(x \, ?\, 4) = x^2 + 8x + 16
Controleer de middenterm van de trinominaal. Heeft het een positief teken of een negatief teken (of, om het anders te zeggen, wordt het opgeteld of afgetrokken)? Als het een positief teken heeft (of wordt toegevoegd), dan hebben beide factoren van de trinominaal een plusteken in het midden. Als het een negatief teken heeft (of wordt afgetrokken), hebben beide factoren een negatief teken in het midden.
De middelste term van het huidige voorbeeld trinominaal is 8X- het is positief - dus je hebt nu de perfecte vierkante trinominaal in rekening gebracht:
(x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16
Controleer je werk door de twee factoren met elkaar te vermenigvuldigen. Het toepassen van de FOIL of eerste, buitenste, binnenste, laatste methode geeft je:
x^2 + 4x + 4x + 16
Dit vereenvoudigen geeft het resultaatX2 + 8X+ 16, wat overeenkomt met uw trinominaal. Dus de factoren kloppen.