Vergelijkingsstelsels oplossen door grafieken te maken

Stelsels van vergelijkingen kunnen helpen bij het oplossen van levensechte vragen op allerlei gebieden, van scheikunde tot zaken tot sport. Het oplossen ervan is niet alleen belangrijk voor je wiskundecijfers; het kan u veel tijd besparen, of u nu doelen probeert te stellen voor uw bedrijf of uw sportteam.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Om een ​​stelsel vergelijkingen op te lossen door grafieken te tekenen, tekent u elke lijn op hetzelfde coördinatenvlak en kijkt u waar ze elkaar snijden.

Stel je bijvoorbeeld voor dat jij en je vriend een limonadekraam opzetten. Je besluit te verdelen en heersen, dus je vriend gaat naar het basketbalveld in de buurt terwijl jij op de hoek van je familie blijft. Aan het eind van de dag bundel je je geld. Samen heb je $ 200 verdiend, maar je vriend heeft $ 50 meer verdiend dan jij. Hoeveel geld heeft ieder van jullie verdiend?

Of denk aan basketbal: Schoten gemaakt buiten de 3-puntslijn zijn 3 punten waard, baskets gemaakt binnen de 3-puntslijn zijn 2 punten waard en vrije worpen zijn slechts 1 punt waard. Je tegenstander staat 19 punten voor op jou. Welke combinaties van manden zou je kunnen maken om de achterstand in te halen?

Grafieken is een van de eenvoudigste manieren om stelsels van vergelijkingen op te lossen. Het enige wat je hoeft te doen is beide lijnen op hetzelfde coördinatenvlak te tekenen en dan te kijken waar ze elkaar kruisen.

Eerst moet je het woordprobleem schrijven als een stelsel vergelijkingen. Wijs variabelen toe aan de onbekenden. Bel het geld dat je verdientY, en het geld dat je vriend verdientF​.

Nu heb je twee soorten informatie: informatie over hoeveel geld je samen hebt verdiend en informatie over hoe het geld dat je hebt verdiend in vergelijking met het geld dat je vriend heeft verdiend. Elk van deze wordt een vergelijking.

Schrijf voor de eerste vergelijking:

aangezien uw geld plus het geld van uw vriend optellen tot $200.

Schrijf vervolgens een vergelijking om de vergelijking tussen uw inkomsten te beschrijven.

omdat het bedrag dat je hebt verdiend gelijk is aan 50 dollar minder dan wat je vriend heeft verdiend. Je zou deze vergelijking ook kunnen schrijven alsY​ + 50 = ​F, want wat jij hebt verdiend plus 50 dollar is gelijk aan wat je vriend heeft verdiend. Dit zijn verschillende manieren om hetzelfde te schrijven en zullen uw uiteindelijke antwoord niet veranderen.

Het stelsel vergelijkingen ziet er dus als volgt uit:

Vervolgens moet u beide vergelijkingen op hetzelfde coördinatenvlak tekenen. Grafiek uw bedrag,Y, op deja-as en het bedrag van je vriend,F, op deX-as (het maakt eigenlijk niet uit welke welke is, zolang je ze maar correct labelt). U kunt ruitjespapier en een potlood, een draagbare grafische rekenmachine of een online grafische rekenmachine gebruiken.

Op dit moment is één vergelijking in standaardvorm en één in helling-onderscheppingsvorm. Dat is niet per se een probleem, maar voor de consistentie, zet beide vergelijkingen in de vorm van een helling-onderschepping.

Dus voor de eerste vergelijking, converteer van standaardvorm naar helling-onderscheppingsvorm. Dat betekent oplossen voorY; met andere woorden, krijgYalleen aan de linkerkant van het isgelijkteken. Dus aftrekkenFvan beide kanten:

Onthoud dat in de vorm van een helling-snijpunt, het getal voor de F de helling is en de constante het y-snijpunt.

Om de eerste vergelijking te tekenen,Y​ = −​F+ 200, teken een punt bij (0, 200) en gebruik vervolgens de helling om meer punten te vinden. De helling is −1, dus ga één eenheid naar beneden en over één eenheid en teken een punt. Dat creëert een punt bij (1, 199), en als je het proces herhaalt dat met dat punt begint, krijg je nog een punt bij (2, 198). Dit zijn kleine bewegingen op een grote lijn, dus teken nog een punt op deX- onderscheppen om ervoor te zorgen dat je de dingen op de lange termijn mooi in een grafiek hebt staan. AlsY= 0, danFzal 200 zijn, dus teken een punt bij (200, 0).

Om de tweede vergelijking te tekenen,Y​ = ​F– 50, gebruik het y-snijpunt van −50 om het eerste punt op (0, −50) te tekenen. Aangezien de helling 1 is, begin bij (0, −50), en ga dan één eenheid omhoog en meer dan één eenheid. Dat brengt je op (1, −49). Herhaal het proces vanaf (1, −49) en je krijgt een derde punt bij (2, −48). Nogmaals, om er zeker van te zijn dat je dingen netjes doet over lange afstanden, controleer jezelf door ook deX-onderscheppen. WanneerY​ = 0, ​Fwordt 50, dus teken ook een punt bij (50, 0). Trek een nette lijn die deze punten verbindt.

Kijk goed naar je grafiek om te zien waar de twee lijnen elkaar snijden. Dit zal de oplossing zijn, omdat de oplossing van een stelsel vergelijkingen het punt (of de punten) is dat beide vergelijkingen waar maakt. In een grafiek ziet dit eruit als het punt (of de punten) waar de twee lijnen elkaar snijden.

In dit geval snijden de twee lijnen elkaar bij (125, 75). Dus de oplossing is dat je vriend (deX-coördinaat) verdiende $ 125 en jij (deja-coördinaat) verdiende $ 75.

Snelle logische controle: is dit logisch? Samen tellen de twee waarden op tot 200, en 125 is 50 meer dan 75. Klinkt goed.

In dit geval was er precies één punt waar de twee lijnen elkaar kruisten. Als je met vergelijkingenstelsels werkt, zijn er drie mogelijke uitkomsten, en elk resultaat ziet er anders uit in een grafiek.

• Als het systeem één oplossing heeft, zullen de lijnen elkaar op één punt kruisen, zoals in het voorbeeld.
• Als het systeem geen oplossingen heeft, zullen de lijnen elkaar nooit kruisen. Ze zullen evenwijdig zijn, wat in algebraïsche termen betekent dat ze dezelfde helling zullen hebben.
• Het systeem kan ook oneindige oplossingen hebben, wat betekent dat uw "twee" lijnen eigenlijk dezelfde lijn zijn. Ze hebben dus elk punt gemeen, wat een oneindig aantal oplossingen is.