Hoe een exponentiële vergelijking met twee punten te vinden

Als je twee punten kent die op een bepaalde exponentiële curve vallen, kun je de curve definiëren door de algemene exponentiële functie op te lossen met die punten. In de praktijk betekent dit het vervangen van de punten voor y en x in de vergelijking y = ab^X. De procedure is eenvoudiger als de x-waarde voor een van de punten 0 is, wat betekent dat het punt op de y-as ligt. Als geen van beide punten een x-waarde van nul heeft, is het proces voor het oplossen van x en y een beetje ingewikkelder.

Veel belangrijke systemen volgen exponentiële patronen van groei en verval. Het aantal bacteriën in een kolonie neemt bijvoorbeeld gewoonlijk exponentieel toe en de omgevingsstraling in de atmosfeer na een nucleaire gebeurtenis neemt gewoonlijk exponentieel af. Door gegevens te nemen en een curve te plotten, zijn wetenschappers in een betere positie om voorspellingen te doen.

Elk punt op een tweedimensionale grafiek kan worden weergegeven door twee getallen, die meestal worden geschreven in de in de vorm (x, y), waarbij x de horizontale afstand vanaf de oorsprong definieert en y de verticale vertegenwoordigt afstand. Het punt (2, 3) is bijvoorbeeld twee eenheden rechts van de y-as en drie eenheden boven de x-as. Aan de andere kant is het punt (-2, -3) twee eenheden links van de y-as. en drie eenheden onder de x-as.

Als je twee punten hebt, (x₁, ja₁) en (x₂, ja₂), kun je de exponentiële functie definiëren die door deze punten gaat door ze te vervangen in de vergelijking y = ab^X en het oplossen van a en b. Over het algemeen moet je dit paar vergelijkingen oplossen:

ja₁ = ab^x1 en jij₂ = ab^x2, .

In deze vorm ziet de wiskunde er een beetje ingewikkeld uit, maar het ziet er minder uit nadat je een paar voorbeelden hebt gedaan.

Als een van de x-waarden -- zeg x₁ -- is 0, wordt de bewerking heel eenvoudig. Bijvoorbeeld, het oplossen van de vergelijking voor de punten (0, 2) en (2, 4) levert:

2 = ab⁰ en 4 = ab². Aangezien we weten dat b⁰ = 1, de eerste vergelijking wordt 2 = a. Vervanging van a in de tweede vergelijking levert 4 = 2b. op², die we vereenvoudigen tot b² = 2, of b = vierkantswortel van 2, wat gelijk is aan ongeveer 1,41. De bepalende functie is dan y = 2 (1,41)^X.

Als geen van beide x-waarden nul is, is het oplossen van het paar vergelijkingen iets omslachtiger. Henochmath leidt ons door een eenvoudig voorbeeld om deze procedure te verduidelijken. In zijn voorbeeld koos hij het paar punten (2, 3) en (4, 27). Dit levert het volgende paar vergelijkingen op:

27 = ongeveer⁴

3 = ab²

Als je de eerste vergelijking door de tweede deelt, krijg je

9 = b²

dus b = 3. Het is mogelijk dat b ook gelijk is aan -3, maar neem in dit geval aan dat het positief is.

U kunt deze waarde voor b in beide vergelijkingen vervangen om a te krijgen. Het is gemakkelijker om de tweede vergelijking te gebruiken, dus:

3 = een (3)² die kan worden vereenvoudigd tot 3 = a9, a = 3/9 of 1/3.

De vergelijking die door deze punten gaat, kan worden geschreven als y = 1/3 (3)^X.

Sinds 1910 is de menselijke bevolkingsgroei exponentieel geweest en door een groeicurve uit te zetten, zijn wetenschappers in een betere positie om de toekomst te voorspellen en te plannen. In 1910 was de wereldbevolking 1,75 miljard en in 2010 6,87 miljard. Als we 1910 als uitgangspunt nemen, geeft dit het puntenpaar (0, 1,75) en (100, 6,87). Omdat de x-waarde van het eerste punt nul is, kunnen we gemakkelijk a vinden.

1.75 = ongeveer⁰ of een = 1,75. Als u deze waarde, samen met die van het tweede punt, in de algemene exponentiële vergelijking invoegt, levert dit 6,87 = 1,75b. op¹⁰⁰, die de waarde van b geeft als de honderdste wortel van 6,87/1,75 of 3,93. Dus de vergelijking wordt y = 1,75 (honderdste wortel van 3,93)^X. Hoewel er meer nodig is dan een rekenliniaal om dit te doen, kunnen wetenschappers deze vergelijking gebruiken om toekomstige bevolkingsaantallen te projecteren om politici in het heden te helpen passend beleid te creëren.