Het oplossen van ongelijkheden in absolute waarden lijkt veel op het oplossen van vergelijkingen van absolute waarden, maar er zijn een paar extra details om in gedachten te houden. Het helpt om al vertrouwd te zijn met het oplossen van absolute-waardevergelijkingen, maar het is prima als je ze ook samen leert!
Definitie van absolute waarde-ongelijkheid
Allereerst eenabsolute waarde ongelijkheidis een ongelijkheid waarbij sprake is van een absolute waarde-uitdrukking. Bijvoorbeeld,
| 5 + x | - 10 > 6
is een absolute waarde-ongelijkheid omdat het een ongelijkheidsteken > heeft en een absolute waarde-expressie | 5 +X |.
Hoe een absolute waarde-ongelijkheid op te lossen?
Destappen om een absolute waardeongelijkheid op te lossenlijken veel op de stappen voor het oplossen van een absolute waardevergelijking:
Stap 1:Isoleer de absolute waarde-uitdrukking aan één kant van de ongelijkheid.
Stap 2:Los de positieve "versie" van de ongelijkheid op.
Stap 3:Los de negatieve "versie" van de ongelijkheid op door de hoeveelheid aan de andere kant van de ongelijkheid te vermenigvuldigen met 1 en het ongelijkheidsteken om te draaien.
Dat is veel om in één keer in je op te nemen, dus hier is een voorbeeld dat je door de stappen leidt.
Los de ongelijkheid op voorX:
| 5 + 5x | - 3 > 2
Om dit te doen, download | 5 + 5X| op zichzelf aan de linkerkant van de ongelijkheid. Het enige wat je hoeft te doen is 3 aan elke kant toevoegen:
| 5 + 5x | - 3 + 3 > 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Nu zijn er twee 'versies' van de ongelijkheid die we moeten oplossen: de positieve 'versie' en de negatieve 'versie'.
Voor deze stap gaan we ervan uit dat de dingen zijn zoals ze lijken: dat 5 + 5X > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
Dit is een simpele ongelijkheid; je hoeft alleen maar op te lossen voorXzoals gewoonlijk. Trek 5 van beide zijden af en deel vervolgens beide zijden door 5.
\begin{uitgelijnd} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(trek vijf af van beide zijden)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(deel beide zijden door vijf)} \\ &x > 0 \end{uitgelijnd}
Niet slecht! Dus een mogelijke oplossing voor onze ongelijkheid is dat:X> 0. Nu er absolute waarden bij betrokken zijn, is het tijd om een andere mogelijkheid te overwegen.
Om dit volgende stukje te begrijpen, helpt het om te onthouden wat absolute waarde betekent.Absolute waardemeet de afstand van een getal vanaf nul. Afstand is altijd positief, dus 9 is negen eenheden verwijderd van nul, maar −9 is ook negen eenheden verwijderd van nul.
Dus | 9 | = 9, maar | −9 | = 9 ook.
Nu terug naar het probleem hierboven. Het bovenstaande werk toonde aan dat | 5 + 5X| > 5; met andere woorden, de absolute waarde van "iets" is groter dan vijf. Nu zal elk positief getal groter dan vijf verder van nul zijn dan vijf. Dus de eerste optie was dat "iets", 5 + 5X, is groter dan 5.
Dat is:
5 + 5x > 5
Dat is het scenario dat hierboven is behandeld, in stap 2.
Denk nu wat verder na. Wat is er nog meer vijf eenheden verwijderd van nul? Nou, min vijf is. En alles verder langs de getallenlijn vanaf min vijf zal nog verder van nul verwijderd zijn. Dus ons "iets" kan een negatief getal zijn dat verder van nul is dan min vijf. Dat betekent dat het een groter klinkend nummer zou zijn, maar technisch gezienminder danmin vijf omdat het in de negatieve richting op de getallenlijn beweegt.
Dus ons "iets", 5 + 5x, kan kleiner zijn dan −5.
5 + 5x < -5
De snelle manier om dit algebraïsch te doen, is door de hoeveelheid aan de andere kant van de ongelijkheid, 5, te vermenigvuldigen met min één, en dan het ongelijkheidsteken om te draaien:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < - 5
Los het dan zoals gewoonlijk op.
\begin{uitgelijnd} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5 < -5 - 5 \quad \text{(trek 5 van beide kanten af)} \\ &5x < -10 \\ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \\ &x < - 2 \end{uitgelijnd}
Dus de twee mogelijke oplossingen voor de ongelijkheid zijn:X> 0 ofX< −2. Controleer jezelf door een paar mogelijke oplossingen in te pluggen om er zeker van te zijn dat de ongelijkheid nog steeds geldt.
Absolute waardeongelijkheden zonder oplossing
Er is een scenario waarin er zou zijngeen oplossingen voor een absolute waardeongelijkheid. Aangezien absolute waarden altijd positief zijn, kunnen ze niet gelijk zijn aan of kleiner zijn dan negatieve getallen.
Dus |X| < −2 heeftgeen oplossingomdat de uitkomst van een absolute waarde-expressie positief moet zijn.
Interval notatie
Om de oplossing voor ons belangrijkste voorbeeld te schrijven in:interval notatie, denk na over hoe de oplossing eruitziet op de getallenlijn. Onze oplossing was:X> 0 ofX< −2. Op een getallenlijn is dat een open punt op 0, met een lijn die zich uitstrekt tot positief oneindig, en een open punt op −2, met een lijn die zich uitstrekt tot negatief oneindig. Deze oplossingen wijzen van elkaar af, niet naar elkaar toe, dus neem elk stuk apart.
Voor x > 0 op een getallenlijn, is er een open punt op nul en dan een lijn die zich uitstrekt tot oneindig. In intervalnotatie wordt een open punt geïllustreerd met haakjes, ( ), en een gesloten punt, of ongelijkheden met ≥ of ≤, zou haakjes gebruiken, [ ]. Dus voorX> 0, schrijf (0, ).
De andere helft,X< −2, op een getallenlijn staat een open punt op −2 en dan een pijl die helemaal doorloopt tot −∞. In intervalnotatie is dat (−∞, −2).
"Of" in intervalnotatie is het unieteken, .
Dus de oplossing in intervalnotatie is
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)
