Wanneer u voor het eerst over functies begint te leren, moet u ze misschien als een machine beschouwen: u voert een waarde in,X, in de functie, en als het eenmaal door de machine is verwerkt, een andere waarde - laten we het noemenja- springt uit het uiteinde. Het bereik van mogelijkeXinvoer die door de machine kan komen om een geldige uitvoer te retourneren, wordt het domein van de functie genoemd. Dus als je wordt gevraagd om het domein van een functie te vinden, moet je echt uitzoeken welke mogelijke invoer een geldige uitvoer zou opleveren.
De strategie voor het vinden van een domein
Als je alleen maar leert over functies en domeinen, wordt er meestal van uitgegaan dat het domein van een functie 'allemaal reële getallen' is. Dus wanneer je het domein te definiëren, is het vaak het gemakkelijkst om je kennis van wiskunde – vooral algebra – te gebruiken om te bepalen welke nummerszijn nietgeldige leden van het domein. Dus als u de instructies "vind het domein" ziet, is het vaak het gemakkelijkst om ze in uw hoofd te lezen als "zoek en verwijder alle nummers die
kan nietin het domein zijn."In de meeste gevallen komt dit neer op het controleren op (en elimineren) van potentiële inputs waardoor breuken ongedefinieerd zouden worden, of 0 in hun noemer hebben, en op zoek zijn naar mogelijke invoer die u negatieve getallen onder een vierkantswortel zou geven teken.
Een voorbeeld van het vinden van een domein
Overweeg de functie
f (x) = \frac{3}{x - 2}
wat echt betekent dat elk nummer dat u invoert, wordt neergeploft in plaats vanXaan de rechterkant van de vergelijking. Als u bijvoorbeeld heeft berekendf(4) je zou hebben
f (4) = \frac{3}{4 - 2}
wat uitkomt op 3/2.
Maar wat als je berekend?f(2) of, met andere woorden, voer 2 in in plaats vanX? Dan had je
f (2) = \frac{3}{2 - 2}
wat vereenvoudigt tot 3/0, wat een ongedefinieerde breuk is.
Dit illustreert een van de twee veelvoorkomende instanties die een getal kunnen uitsluiten van het domein van een functie. Als er een breuk in het spel is, en de invoer zou ervoor zorgen dat de noemer van die breuk nul is, dan moet de invoer worden uitgesloten van het domein van de functie.
Een klein onderzoek zal je laten zien dat absoluut elk nummerbehalve2 geeft een geldig (soms rommelig) resultaat voor de functie in kwestie, dus het domein van deze functie is alle getallen behalve 2.
Nog een voorbeeld van het vinden van een domein
Er is nog een andere veelvoorkomende instantie die mogelijke leden van het domein van een functie uitsluit: een negatieve hoeveelheid onder een vierkantswortelteken, of een radicaal met een even index. Overweeg de voorbeeldfunctie
f (x) = \sqrt{5 - x}
AlsX≤ 5, dan zal de hoeveelheid onder het wortelteken 0 of positief zijn en een geldig resultaat retourneren. Bijvoorbeeld, alsX= 4,5 zou je hebben
f (4.5) = \sqrt{5 - 4.5} = \sqrt{0.5}
die, hoewel rommelig, toch een geldig resultaat oplevert. En alsX= −10 die je zou hebben
f(-10) = \sqrt{5 - (-10)} = \sqrt{5 + 10} = \sqrt{15}
wat, nogmaals, een geldig als rommelig resultaat retourneert.
Maar stel je voor datX= 5.1. Op het moment dat je op je tenen over de scheidslijn tussen 5 en alle grotere getallen gaat, krijg je een negatief getal onder het wortelteken:
f (5.1) = \sqrt{5 - 5.1} = \sqrt{-0.1}
Veel later in je wiskundecarrière zul je leren om negatieve vierkantswortels te begrijpen met behulp van een concept dat denkbeeldige getallen of complexe getallen wordt genoemd. Maar voor nu sluit het hebben van een negatief getal onder het wortelteken uit dat invoer als een geldig lid van het domein van de functie is.
Dus, in dit geval, omdat elk nummerX≤ 5 geeft een geldig resultaat voor deze functie en een willekeurig getalX> 5 retourneert een ongeldig resultaat, het domein van de functie is allemaal getallenX ≤ 5.