Rationele uitdrukkingen lijken ingewikkelder dan gewone gehele getallen, maar de regels voor het vermenigvuldigen en delen ervan zijn gemakkelijk te begrijpen. Of u nu een ingewikkelde algebraïsche uitdrukking aanpakt of een eenvoudige breuk behandelt, de regels voor vermenigvuldigen en delen zijn in principe hetzelfde. Nadat je hebt geleerd wat rationele uitdrukkingen zijn en hoe ze zich verhouden tot gewone breuken, kun je ze met vertrouwen vermenigvuldigen en delen.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Het vermenigvuldigen en delen van rationale uitdrukkingen werkt net als het vermenigvuldigen en delen van breuken. Om twee rationale uitdrukkingen te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt u de tellers met elkaar en vermenigvuldigt u vervolgens de noemers met elkaar.
Om de ene rationele uitdrukking door een andere te delen, volgt u dezelfde regels als voor het delen van de ene breuk door de andere. Draai eerst de breuk in de deler (waardoor je deelt) ondersteboven en vermenigvuldig deze vervolgens met de breuk in het deeltal (waardoor je deelt).
Wat is een rationele uitdrukking?
De term "rationele uitdrukking" beschrijft een breuk waarbij de teller en noemer polynomen zijn. Een polynoom is een uitdrukking zoals
2x^2 + 3x + 1
samengesteld uit constanten, variabelen en exponenten (die niet negatief zijn). De volgende uitdrukking:
\frac{x + 5}{x^2 - 4}
Geeft een voorbeeld van een rationele uitdrukking. Dit heeft in feite de vorm van een breuk, alleen met een ingewikkeldere teller en noemer. Merk op dat rationale uitdrukkingen alleen geldig zijn als de noemer niet gelijk is aan nul, dus het bovenstaande voorbeeld is alleen geldig alsX ≠ 2.
Rationele uitdrukkingen vermenigvuldigen
Het vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen volgt in principe dezelfde regels als het vermenigvuldigen van een breuk. Wanneer u een breuk vermenigvuldigt, vermenigvuldigt u de ene teller met de andere en de ene noemer met de andere, en wanneer u vermenigvuldigt rationale uitdrukkingen, vermenigvuldig je de ene hele teller met de andere teller en de hele noemer met de andere noemer.
Voor een breuk schrijf je:
\begin{uitgelijnd} \frac{2}{5} × \frac{4}{7} &= \frac{2 × 4}{5 × 7} \\ \,\\ &= \frac{8}{ 35} \end{uitgelijnd}
Voor twee rationale uitdrukkingen gebruik je hetzelfde basisproces:
\begin{uitgelijnd} \frac{x + 5}{x - 4} × \frac{x}{x + 1} &= \frac{(x + 5) × x}{(x - 4) × (x + 1)} \\ \,\\ &= \frac{x^2 + 5x}{x^2 -4x + x - 4} \\ \,\\ &= \frac{x^2 + 5x}{ x^2 - 3x - 4} \end{uitgelijnd}
Wanneer u een geheel getal (of algebraïsche uitdrukking) vermenigvuldigt met een breuk, vermenigvuldigt u eenvoudig de teller van de breuk met het gehele getal. Dit komt omdat elk geheel getalneekan worden geschreven alsnee/ 1, en dan volgens de standaardregels voor het vermenigvuldigen van breuken, verandert de factor 1 de noemer niet. Het volgende voorbeeld illustreert dit:
\begin{uitgelijnd} \frac{x + 5}{x^2 - 4} × x &= \frac{x + 5}{x^2 - 4} × \frac{x}{1} \\ \, \\ &= \frac{(x + 5) × x}{(x^2 - 4) × 1}\\ \,\\ =& \frac{x^2 + 5x}{x^2 - 4} \end{uitgelijnd}
Rationele uitdrukkingen verdelen
Net als het vermenigvuldigen van rationale uitdrukkingen, volgt het delen van rationale uitdrukkingen dezelfde basisregels als het delen van breuken. Wanneer u twee breuken deelt, draait u de tweede breuk ondersteboven als de eerste stap en vermenigvuldigt u vervolgens. Zo:
\begin{aligned} \frac{4}{5} ÷ \frac{3}{2} &= \frac{4}{5} × \frac{2}{3} \\ \,\\ &= \ frac{4 × 2}{5 × 3} \\ \,\\ &= \frac{8}{15} \end{uitgelijnd}
Het verdelen van twee rationele uitdrukkingen werkt op dezelfde manier, dus:
\begin{uitgelijnd} \frac{x + 3}{2x^2} ÷ \frac{4}{3x} &= \frac{x + 3}{2x^2} × \frac{3x}{4} \ \ \,\\ &= \frac{(x + 3) × 3x}{2x^2 × 4} \\ \,\\ &= \frac{3x^2 + 9x}{8x^2} \end{ uitgelijnd}
Deze uitdrukking kan worden vereenvoudigd, omdat er een factor is vanX(inclusiefX2) in beide termen in de teller en een factor vanX2 in de noemer. Een set vanXs kan annuleren om te geven:
\begin{uitgelijnd} \frac{3x^2 + 9x}{8x^2} &= \frac{x (3x + 9)} {8x^2} \\ &= \frac{3x + 9}{8x} \end{uitgelijnd}
U kunt uitdrukkingen alleen vereenvoudigen als u een factor kunt verwijderen uit de hele uitdrukking aan de boven- en onderkant, zoals hierboven. De volgende uitdrukking:
\frac{x - 1}{x}
Kan niet op dezelfde manier worden vereenvoudigd omdat deXin de noemer deelt de hele term in de teller. Je zou kunnen schrijven:
\begin{uitgelijnd} \frac{x-1}{x} &= \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \\ &= 1 - \frac{1}{x} \end {uitgelijnd}
Als je dat wel zou willen.