Alle wiskundestudenten en veel bètastudenten komen op een bepaald moment tijdens hun studie polynomen tegen, maar gelukkig zijn ze gemakkelijk in de omgang als je de basis eenmaal hebt geleerd. De belangrijkste bewerkingen die u met polynomiale uitdrukkingen moet doen, zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en verdelen, en hoewel opdelen complex kan zijn, kun je meestal de basis onder de knie krijgen gemak.
Veeltermen: definitie en voorbeelden
veelterm beschrijft een algebraïsche uitdrukking met een of meer termen met betrekking tot een variabele (of meer dan één), met exponenten en mogelijk constanten. Ze kunnen geen deling door een variabele bevatten, mogen geen negatieve of fractionele exponenten hebben en moeten een eindig aantal termen hebben.
Dit voorbeeld toont een polynoom:
x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4
En dit toont er nog een:
xy^2 - 3 x + y
Er zijn veel manieren om veeltermen te classificeren, ook op graad (de som van de exponenten op de hoogste machtsterm, bijv. 3 in de eerste voorbeeld) en door het aantal termen dat ze bevatten, zoals monomials (één term), binomials (twee termen) en trinomialen (drie voorwaarden).
Polynomen optellen en aftrekken
Het optellen en aftrekken van veeltermen hangt af van het combineren van "achtige" termen. Een soortgelijke term is er een met dezelfde variabelen en exponenten als een andere, maar het aantal waarmee ze worden vermenigvuldigd (de coëfficiënt) kan verschillen. Bijvoorbeeld,X2 en 4X 2 zijn gelijkaardige termen omdat ze dezelfde variabele en exponent hebben, en 2xy 4 en 6xy 4 zijn ook termen. Echter,X2, X3, X2ja2 enja2 zijn geen termen, omdat elke term verschillende combinaties van variabelen en exponenten bevat.
Voeg polynomen toe door soortgelijke termen op dezelfde manier te combineren als met andere algebraïsche termen. Kijk bijvoorbeeld naar het probleem:
(x^3 + 3x ) + (9x^3 + 2x + y)
Verzamel de gelijkaardige termen om te krijgen:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
En evalueer vervolgens door simpelweg de coëfficiënten bij elkaar op te tellen en te combineren tot een enkele term:
10 x^3 + 5 x + y
Merk op dat u niets kunt doen metjaomdat het geen soortgelijke term heeft.
Aftrekken werkt op dezelfde manier:
(4 x^4 + 3 jaar^2 + 6 jaar) - (2 x^4 + 2 jaar^2 + jaar)
Merk eerst op dat alle termen in het rechter haakje worden afgetrokken van die in het linker haakje, dus schrijf het als:
4 x^4 + 3 jaar^2 + 6 jaar - 2 x^4 - 2 jaar^2- jaar
Combineer soortgelijke termen en evalueer om te krijgen:
(4 x^4 - 2 x^4) + (3 jaar^2 - 2 jaar^2) + (6 jaar - jaar) = 2 x^4 + jaar^2 + 5 jaar
Voor een probleem als dit:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)
Merk op dat het minteken wordt toegepast op de hele uitdrukking in het rechter haakje, dus de twee mintekens voor 3X2 een optelteken worden:
(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2
Bereken dan zoals eerder.
Polynomiale uitdrukkingen vermenigvuldigen
Vermenigvuldig polynomiale uitdrukkingen met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging. Kortom, vermenigvuldig elke term in de eerste polynoom met elke term in de tweede. Kijk naar dit eenvoudige voorbeeld:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Je lost dit op met behulp van de distributieve eigenschap, dus:
\begin{uitgelijnd} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{uitgelijnd}
Pak meer gecompliceerde problemen op dezelfde manier aan:
\begin{uitgelijnd} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x )) \\ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 jaar^3x^2 + 4 jaar ^3x + 15x^3 + 6x^2 \end{uitgelijnd}
Deze problemen kunnen ingewikkeld worden voor grotere groepen, maar het basisproces is nog steeds hetzelfde.
Polynomiale uitdrukkingen delen
Het verdelen van polynomiale uitdrukkingen duurt langer, maar je kunt het in stappen aanpakken. Kijk naar de uitdrukking:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}
Schrijf eerst de uitdrukking als een staartdeling, met de deler aan de linkerkant en het deeltal aan de rechterkant:
x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}
Deel de eerste term in het deeltal door de eerste term in de deler en zet het resultaat op de lijn boven de deling. In dit geval,X2 ÷ X = X, dus:
\begin{uitgelijnd} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{uitgelijnd}
Vermenigvuldig dit resultaat met de gehele deler, dus in dit geval, (X + 2) × X = X2 + 2 X. Zet dit resultaat onder de deling:
\begin{uitgelijnd} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{uitgelijnd}
Trek het resultaat op de nieuwe regel af van de termen er direct boven (merk op dat u technisch gezien het teken wijzigt, dus als u een negatief resultaat had, zou u het in plaats daarvan toevoegen) en dit op een regel eronder plaatsen. Verplaats ook de laatste termijn van het oorspronkelijke dividend naar beneden.
\begin{uitgelijnd} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{uitgelijnd}
Herhaal nu het proces met de deler en de nieuwe polynoom op de onderste regel. Dus deel de eerste term van de deler (X) tegen de eerste termijn van het dividend (−5X) en zet dit hierboven:
\begin{uitgelijnd} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{uitgelijnd}
Vermenigvuldig dit resultaat (−5X ÷ X= −5) door de oorspronkelijke deler (dus (X + 2) × −5 = −5 X−10) en zet het resultaat op een nieuwe onderste regel:
\begin{uitgelijnd} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \end{uitgelijnd}
Trek vervolgens de onderste regel af van de volgende (dus verander in dit geval het teken en voeg toe), en plaats het resultaat op een nieuwe onderste regel:
\begin{uitgelijnd} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ & 0 \quad 0 \end{uitgelijnd}
Aangezien er nu een rij nullen onderaan staat, is het proces voltooid. Als er niet-nul termen over waren, zou u het proces opnieuw herhalen. Het resultaat staat op de bovenste regel, dus:
\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5
Deze verdeling en enkele andere kunnen eenvoudiger worden opgelost als je kunt factor de polynoom in het dividend.