De drie meest gebruikte methoden om vergelijkingsstelsels op te lossen zijn substitutie, eliminatie en augmented matrices. Substitutie en eliminatie zijn eenvoudige methoden die de meeste stelsels van twee vergelijkingen in een paar eenvoudige stappen effectief kunnen oplossen. De methode van augmented matrices vereist meer stappen, maar de toepassing ervan strekt zich uit tot een grotere verscheidenheid aan systemen.
vervanging
Substitutie is een methode om stelsels van vergelijkingen op te lossen door alle variabelen in een van de vergelijkingen op één na te verwijderen en vervolgens die vergelijking op te lossen. Dit wordt bereikt door de andere variabele in een vergelijking te isoleren en vervolgens waarden voor deze variabelen in een andere andere vergelijking te vervangen. Om bijvoorbeeld het stelsel vergelijkingen x + y = 4, 2x - 3y = 3 op te lossen, isoleer je de variabele x in de eerste vergelijking om x = 4 - y te krijgen, vervang dan deze waarde van y in de tweede vergelijking om 2(4 - y) - 3y = te krijgen 3. Deze vergelijking vereenvoudigt tot -5y = -5, of y = 1. Vul deze waarde in de tweede vergelijking in om de waarde van x te vinden: x + 1 = 4 of x = 3.
Uitschakeling
Eliminatie is een andere manier om stelsels van vergelijkingen op te lossen door een van de vergelijkingen te herschrijven in termen van slechts één variabele. De eliminatiemethode bereikt dit door vergelijkingen van elkaar op te tellen of af te trekken om een van de variabelen op te heffen. Bijvoorbeeld, het optellen van de vergelijkingen x + 2y = 3 en 2x - 2y = 3 levert een nieuwe vergelijking op, 3x = 6 (merk op dat de y-termen wegvallen). Het systeem wordt vervolgens opgelost met behulp van dezelfde methoden als voor substitutie. Als het onmogelijk is om de variabelen in de vergelijkingen op te heffen, moet de hele vergelijking met een factor worden vermenigvuldigd om de coëfficiënten op elkaar af te stemmen.
Augmented Matrix
Augmented matrices kunnen ook worden gebruikt om stelsels van vergelijkingen op te lossen. De augmented matrix bestaat uit rijen voor elke vergelijking, kolommen voor elke variabele en een augmented kolom die de constante term aan de andere kant van de vergelijking bevat. Bijvoorbeeld, de augmented matrix voor het stelsel vergelijkingen 2x + y = 4, 2x - y = 0 is [[2 1], [2 -1]...[4, 0]].
De oplossing bepalen
De volgende stap omvat het gebruik van elementaire rijbewerkingen zoals het vermenigvuldigen of delen van een rij door een andere constante dan nul en het optellen of aftrekken van rijen. Het doel van deze bewerkingen is om de matrix om te zetten in rij-echelonvorm, waarbij de eerste niet-nul invoer in elke rij een 1, invoer is boven en onder dit item zijn allemaal nullen, en het eerste niet-nulitem voor elke rij staat altijd rechts van al dergelijke items in de rijen erboven. Rij-echelonvorm voor de bovenstaande matrix is [[1 0], [0 1]...[1, 2]]. De waarde van de eerste variabele wordt gegeven door de eerste rij (1x + 0y = 1 of x = 1). De waarde van de tweede variabele wordt gegeven door de tweede rij (0x + 1y = 2 of y = 2).
Toepassingen
Substitutie en eliminatie zijn eenvoudigere methoden voor het oplossen van vergelijkingen en worden veel vaker gebruikt dan augmented matrices in basisalgebra. De substitutiemethode is vooral handig wanneer een van de variabelen al is geïsoleerd in een van de vergelijkingen. De eliminatiemethode is nuttig wanneer de coëfficiënt van een van de variabelen hetzelfde is (of het negatieve equivalent ervan) in alle vergelijkingen. Het belangrijkste voordeel van augmented matrices is dat het kan worden gebruikt om stelsels van drie of meer vergelijkingen op te lossen in situaties waarin substitutie en eliminatie onhaalbaar of onmogelijk zijn.