De beste manier om polynomen met breuken te ontbinden, begint met het reduceren van de breuken tot eenvoudiger termen. Veeltermen vertegenwoordigen algebraïsche uitdrukkingen met twee of meer termen, meer specifiek de som van meerdere termen die verschillende uitdrukkingen van dezelfde variabele hebben. Strategieën die helpen bij het vereenvoudigen van veeltermen omvatten het weghalen van de grootste gemene deler, gevolgd door het groeperen van de vergelijking in de laagste termen. Hetzelfde geldt zelfs bij het oplossen van veeltermen met breuken.
Veeltermen met gedefinieerde breuken
Je hebt drie manieren om de frase veeltermen met breuken te bekijken. De eerste interpretatie behandelt veeltermen met breuken voor coëfficiënten. In de algebra wordt de coëfficiënt gedefinieerd als de getalshoeveelheid of constante die vóór een variabele wordt gevonden. Met andere woorden, de coëfficiënten voor 7_a_, b en (1/3)c zijn respectievelijk 7, 1 en (1/3). Twee voorbeelden van polynomen met breukcoëfficiënten zouden daarom zijn:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ en } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
De tweede interpretatie van "veeltermen met breuken" verwijst naar veeltermen die bestaan in breuken of verhoudingen vorm met een teller en een noemer, waarbij de tellerpolynoom wordt gedeeld door de noemer polynoom. Deze tweede interpretatie wordt bijvoorbeeld geïllustreerd door:
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
De derde interpretatie heeft betrekking op partiële fractieontleding, ook bekend als partiële fractie-expansie. Soms zijn polynomiale breuken complex, zodat wanneer ze worden "ontbonden" of "opgesplitst" in eenvoudigere termen, ze worden gepresenteerd als sommen, verschillen, producten of quotiënten van polynoom fracties. Ter illustratie, de complexe polynoomfractie van:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
wordt geëvalueerd door middel van partiële breukdecompositie, waarbij overigens factoring van polynomen betrokken is, in zijn eenvoudigste vorm:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Basisprincipes van factoring - Distributieve eigenschap en FOIL-methode
Factoren vertegenwoordigen twee getallen die bij vermenigvuldiging gelijk zijn aan een derde getal. In algebraïsche vergelijkingen bepaalt factoring welke twee grootheden met elkaar zijn vermenigvuldigd om tot een gegeven polynoom te komen. De distributieve eigenschap wordt zwaar gevolgd bij het vermenigvuldigen van polynomen. De distributieve eigenschap maakt het in wezen mogelijk om een som te vermenigvuldigen door elk getal afzonderlijk te vermenigvuldigen voordat de producten worden toegevoegd. Kijk bijvoorbeeld hoe de distributieve eigenschap wordt toegepast in het voorbeeld van:
7(10x + 5) \text{ om tot de binomiaal van } 70x + 35 te komen.
Maar als twee binomials met elkaar worden vermenigvuldigd, wordt een uitgebreide versie van de distributieve eigenschap gebruikt via de FOIL-methode. FOIL staat voor het acroniem voor de eerste, buitenste, binnenste en laatste termen die worden vermenigvuldigd. Daarom houdt het factoriseren van polynomen in dat de FOIL-methode achterstevoren wordt uitgevoerd. Neem de twee bovengenoemde voorbeelden met de polynomen die breukcoëfficiënten bevatten. Als u de FOIL-methode achterwaarts op elk van hen uitvoert, resulteert dit in de factoren van:
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
voor de eerste polynoom, en de factoren van
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
voor de tweede veelterm.
Voorbeeld:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
Voorbeeld:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\big)
Te nemen stappen bij het in rekening brengen van polynomiale breuken
Van bovenaf hebben polynoombreuken betrekking op een polynoom in de teller gedeeld door een polynoom in de noemer. Het evalueren van polynoombreuken vereist dus het ontbinden van de tellerpolynoom, gevolgd door het ontbinden van de noemerpolynoom. Het helpt om de grootste gemene deler, of GCF, te vinden tussen de teller en de noemer. Zodra de GCF van zowel de teller als de noemer is gevonden, wordt deze opgeheven, waardoor de hele vergelijking uiteindelijk wordt teruggebracht tot vereenvoudigde termen. Beschouw het originele voorbeeld van een polynomiale breuk hierboven van
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
Factoring van de teller- en noemerpolynomen om de GCF te vinden, resulteert in:
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
waarbij de GCF (X + 2).
De GCF in zowel de teller als de noemer heffen elkaar op om het uiteindelijke antwoord te geven in de laagste termen van (X + 5) ÷ (X + 9).
Voorbeeld:
\begin{uitgelijnd} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\cancel{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{uitgelijnd}
Vergelijkingen evalueren via partiële breukdecompositie
Ontleding van partiële breuken, waarbij factoring betrokken is, is een manier om complexe vergelijkingen van polynomiale breuken in een eenvoudigere vorm te herschrijven. Herziening van het voorbeeld van hierboven van
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
Vereenvoudig de noemer
Vereenvoudig de noemer om te krijgen:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
De teller herschikken
Herschik vervolgens de teller zodat de GCF's in de noemer aanwezig zijn, om te krijgen:
\begin{uitgelijnd} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{uitgelijnd}
Voor het linker addend is de GCF (X - 1), terwijl voor de juiste toevoeging de GCF is (X + 2), die annuleren in de teller en noemer, zoals te zien in:
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\annuleren{(x - 1)}}{(x + 2)\annuleren{(x - 1)}} + \frac{5\annuleren{(x + 2)}}{\annuleren{(x + 2)}(x - 1) }
Dus, wanneer de GCF's annuleren, is het laatste vereenvoudigde antwoord:
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
als de oplossing van de partiële fractieontleding.