Iedereen die ooit een potje pool heeft gespeeld, is bekend met de wet van behoud van momentum, of ze het nu beseffen of niet.
De wet van behoud van momentum is van fundamenteel belang om te begrijpen en te voorspellen wat er gebeurt als objecten op elkaar inwerken of botsen. Deze wet voorspelt de bewegingen van biljartballen en bepaalt of die bal van acht in de hoekzak komt of niet.
Wat is momentum?
Momentum wordt gedefinieerd als het product van de massa en snelheid van een object. In vergelijkingsvorm wordt dit vaak geschreven alsp = mv.
Het is een vectorgrootheid, wat betekent dat er een richting aan verbonden is. De richting van de momentumvector van een object is dezelfde richting als de snelheidsvector.
De impuls van een geïsoleerd systeem is de som van de impulsen van elk afzonderlijk object in dat systeem. Een geïsoleerd systeem is een systeem van op elkaar inwerkende objecten die op geen enkele manier in wisselwerking staan met iets anders. Met andere woorden, er is geen netto externe kracht die op het systeem inwerkt.
Het bestuderen van het totale momentum in een geïsoleerd systeem is belangrijk omdat het je in staat stelt om voorspellingen te doen van wat er met de objecten in het systeem zal gebeuren tijdens botsingen en interacties.
Wat zijn beschermingswetten?
Voordat u begint met het begrijpen van de wet van behoud van momentum, is het belangrijk om te begrijpen wat wordt bedoeld met een 'geconserveerde hoeveelheid'.
Iets bewaren betekent op de een of andere manier de verspilling of het verlies ervan voorkomen. In de natuurkunde wordt gezegd dat een grootheid behouden blijft als deze constant blijft. Je hebt misschien de uitdrukking gehoord die betrekking heeft op het behoud van energie, wat het idee is dat energie niet kan worden gecreëerd of vernietigd, maar alleen van vorm verandert. De totale hoeveelheid ervan blijft dus constant.
Als we het hebben over behoud van momentum, hebben we het over de totale hoeveelheid momentum die constant blijft. Dit momentum kan binnen een geïsoleerd systeem van het ene object naar het andere worden overgedragen en toch als behouden worden beschouwd als het totale momentum in dat systeem niet verandert.
Newtons tweede bewegingswet en de wet van behoud van momentum Mo
De wet van behoud van impuls kan worden afgeleid uit de tweede bewegingswet van Newton. Bedenk dat deze wet de netto kracht, massa en versnelling van een object relateerde als:Fnetto- = ma.
De truc hier is om deze nettokracht te beschouwen als werkend op een systeem als geheel. De wet van behoud van impuls is van toepassing wanneer de netto kracht op het systeem 0 is. Dit betekent dat voor elk object in het systeem de enige krachten die erop kunnen worden uitgeoefend, afkomstig moeten zijn van andere objecten binnen het systeem, of anders op de een of andere manier worden opgeheven.
Externe krachten kunnen wrijving, zwaartekracht of luchtweerstand zijn. Deze moeten ofwel niet werken, of ze moeten worden tegengegaan, om de nettokracht op het systeem 0 te maken.
U kunt de afleiding beginnen met de verklaringFnetto- = ma = 0.
Demin dit geval is de massa van het hele systeem. De versnelling in kwestie is de netto versnelling van het systeem, die verwijst naar de versnelling van het zwaartepunt van het systeem (het zwaartepunt is de gemiddelde locatie van het totale systeem) massa.)
Om ervoor te zorgen dat de nettokracht 0 is, moet de versnelling ook 0 zijn. Aangezien versnelling de verandering in snelheid in de tijd is, impliceert dit dat de snelheid niet mag veranderen. Met andere woorden, de snelheid is constant. Vandaar dat we de verklaring krijgen datmvcm= constant.
Waarvcmis de snelheid van het massamiddelpunt, gegeven door de formule:
v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + ...}{m_1 + m_2 + ...}
Dus nu wordt de verklaring teruggebracht tot:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \tekst{constante}
Dit is de vergelijking die het behoud van momentum beschrijft. Elke term is het momentum van een van de objecten in het systeem, en de som van alle momenten moet constant zijn. Een andere manier om dit uit te drukken is door te stellen:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} +... = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} + ...
waar het subscriptikverwijst naar beginwaarden enftot eindwaarden, die meestal voor en daarna optreden na een of andere interactie, zoals een botsing tussen objecten in een systeem.
Elastische en inelastische botsingen
De reden dat de wet van behoud van impuls belangrijk is, is dat je hiermee een oplossing voor een. kunt oplossen onbekende eindsnelheid of iets dergelijks voor objecten in een geïsoleerd systeem die met elkaar kunnen botsen andere.
Er zijn twee manieren waarop een dergelijke botsing kan plaatsvinden: elastisch of niet-elastisch.
Een perfect elastische botsing is een botsing waarbij botsende objecten van elkaar afkaatsen. Dit type botsing wordt gekenmerkt door het behoud van kinetische energie. De kinetische energie van een object wordt gegeven door de formule:
KE = \frac{1}{2}mv^2
Als kinetische energie behouden blijft, moet de som van de kinetische energieën van alle objecten in het systeem constant blijven, zowel voor als na eventuele botsingen. Door behoud van kinetische energie samen met behoud van momentum te gebruiken, kunt u meer dan één eind- of beginsnelheid in een botsend systeem oplossen.
Een perfect inelastische botsing is een botsing waarbij wanneer twee objecten botsen, aan elkaar blijven plakken en daarna als een enkelvoudige massa bewegen. Dit kan een probleem ook vereenvoudigen, omdat je maar één eindsnelheid hoeft te bepalen in plaats van twee.
Terwijl momentum behouden blijft in beide soorten botsingen, wordt kinetische energie alleen behouden bij een elastische botsing. De meeste echte botsingen zijn niet perfect elastisch of perfect onelastisch, maar liggen ergens tussenin.
Behoud van hoekmomentum
Wat in de vorige sectie werd beschreven, is het behoud van lineair momentum. Er is een ander type momentum dat van toepassing is op rotatiebewegingen dat impulsmoment wordt genoemd.
Net als bij lineair momentum blijft ook het impulsmoment behouden. Het impulsmoment hangt af van de massa van een object en van hoe ver die massa zich van een rotatieas bevindt.
Wanneer een kunstschaatser draait, zie je ze sneller draaien als ze hun armen dichter bij hun lichaam brengen. Dit komt omdat hun impulsmoment alleen behouden blijft als hun rotatiesnelheid toeneemt in verhouding met hoe dicht ze hun armen naar hun midden brengen.
Voorbeelden van problemen met het behoud van momentum
Voorbeeld 1:Twee biljartballen van gelijke massa rollen naar elkaar toe. De ene reist met een beginsnelheid van 2 m/s en de andere reist met een snelheid van 4 m/s. Als hun botsing perfect elastisch is, wat is dan de uiteindelijke snelheid van elke bal?
Oplossing 1:Bij het oplossen van dit probleem is het belangrijk om een coördinatensysteem te kiezen. Omdat alles in een rechte lijn gebeurt, zou je kunnen besluiten dat beweging naar rechts positief is en beweging naar links negatief. Neem aan dat de eerste bal met 2 m/s naar rechts beweegt. De snelheid van de tweede bal is dan -4 m/s.
Schrijf een uitdrukking voor het totale momentum van het systeem vóór de botsing, evenals de totale kinetische energie van het systeem vóór de botsing:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2
Vul waarden in om voor elk een uitdrukking te krijgen:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = 2m - 4m = -2m \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac {1}{2}m (2)^2 + \frac{1}{2}m(-4)^2 = 10m
Merk op dat aangezien je geen waarden voor de massa's hebt gekregen, ze onbekend blijven, hoewel beide massa's hetzelfde waren, wat enige vereenvoudiging mogelijk maakte.
Na de botsing zijn de uitdrukkingen voor momentum en kinetische energie:
mv_{1f} + mv_{2f} \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2
Door de beginwaarden gelijk te stellen aan de eindwaarden van elk, kunt u de massa's opheffen. Je blijft dan zitten met een stelsel van twee vergelijkingen en twee onbekende grootheden:
mv_{1f} + mv_{2f} = -2m \implies v_{1f} + v{2f} = -2 \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2 }mv_{2f}^2 = 10m \impliceert v_{1f}^2 + v{2f}^2 = 20
Het systeem algebraïsch oplossen levert de volgende oplossingen op:
v_{if} = -4 \text{ m/s} v_{2f} = 2 \text{ m/s}
Je zult zien dat, omdat de twee ballen dezelfde massa hadden, ze in wezen snelheden verwisselden.
Voorbeeld 2:Een auto van 1200 kg die met een snelheid van 20 mijl per uur naar het oosten rijdt, botst frontaal op een vrachtwagen van 3000 kg die met een snelheid van 24 mijl per uur naar het westen rijdt. De twee voertuigen kleven aan elkaar wanneer ze botsen. Met welke eindsnelheid bewegen ze?
Oplossing 2:Een ding om op te merken over dit specifieke probleem zijn de eenheden. De SI-eenheden voor momentum zijn kg⋅m/s. U krijgt echter massa in kg en snelheden in mijlen per uur. Merk op dat zolang alle snelheden in consistente eenheden zijn, er geen conversie nodig is. Als je de uiteindelijke snelheid oplost, is je antwoord in mijlen per uur.
Het initiële momentum van het systeem kan worden uitgedrukt als:
m_cv_{ci} + m_tv_{ti} = 1200 \times 20 - 3000 \times 15 = -21.000 \text{ kg}\times\text{mph}
Het uiteindelijke momentum van het systeem kan worden uitgedrukt als:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
De wet van behoud van momentum vertelt je dat deze begin- en eindwaarden gelijk moeten zijn. Je kunt de eindsnelheid oplossen door het initiële momentum gelijk te stellen aan het uiteindelijke momentum, en de uiteindelijke snelheid als volgt op te lossen:
4200v_f = -21.000 \implies v_f = \frac{-21000}{4200} = -5 \text{ mph}
Voorbeeld 3:Toon aan dat kinetische energie niet behouden was in de vorige vraag met betrekking tot de inelastische botsing tussen de auto en de vrachtwagen.
Oplossing 3:De initiële kinetische energie van dat systeem was:
\frac{1}{2}m_cv_{ci}^2 + \frac{1}{2}m_tv_{ti}^2 = \frac{1}{2}(1200)(20)^2 + \frac{ 1}{2}(3000)(15)^2 = 557.500 \text{ kg (mph)}^2
De uiteindelijke kinetische energie van het systeem was:
\frac{1}{2}(m_c + m_t) v_f^2 = \frac{1}{2}(1200 + 3000)5^2 = 52.500 \text{ kg (mph)}^2
Omdat de initiële totale kinetische energie en de totale uiteindelijke kinetische energie niet gelijk zijn, kun je concluderen dat kinetische energie niet behouden was.