Het oplossen van de mysteries van elektromagnetisme is een van de grootste prestaties van de natuurkunde tot nu toe, en de geleerde lessen zijn volledig ingekapseld in de vergelijkingen van Maxwell.
James Clerk Maxwell geeft zijn naam aan deze vier elegante vergelijkingen, maar ze zijn het hoogtepunt van tientallen jaren werk van vele natuurkundigen. waaronder Michael Faraday, Andre-Marie Ampere en Carl Friedrich Gauss – die hun naam geven aan drie van de vier vergelijkingen – en velen anderen. Hoewel Maxwell zelf slechts een term aan een van de vier vergelijkingen toevoegde, had hij de vooruitziende blik en het inzicht om: verzamel het allerbeste van het werk dat over het onderwerp is gedaan en presenteer ze op een manier die nog steeds wordt gebruikt door natuurkundigen tegenwoordig.
Gedurende vele, vele jaren geloofden natuurkundigen dat elektriciteit en magnetisme afzonderlijke krachten en afzonderlijke verschijnselen waren. Maar door het experimentele werk van mensen als Faraday werd het steeds duidelijker dat ze eigenlijk twee kanten van de wereld waren hetzelfde fenomeen, en de vergelijkingen van Maxwell presenteren dit uniforme beeld dat vandaag nog steeds even geldig is als in de 19e eeuw. Als je natuurkunde op een hoger niveau gaat studeren, moet je absoluut de vergelijkingen van Maxwell kennen en weten hoe je ze moet gebruiken.
Maxwells vergelijkingen
De vergelijkingen van Maxwell zijn als volgt, zowel in de differentiaalvorm als in de integraalvorm. (Merk op dat hoewel kennis van differentiaalvergelijkingen hier nuttig is, een conceptueel begrip zelfs zonder dit mogelijk is.)
Wet van Gauss voor elektriciteit Electric
Differentiële vorm:
\bm{∇∙E} = \frac{ρ}{ε_0}
Integrale vorm:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Geen monopoolwet / wet van Gauss voor magnetisme
Differentiële vorm:
\bm{∇∙B} = 0
Integrale vorm:
\int \bm{B ∙} d\bm{A} = 0
Inductiewet van Faradaya
Differentiële vorm:
\bm{∇ × E} = − \frac{∂\bm{B}}{∂t}
Integrale vorm:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
Wet van Ampere-Maxwell / Wet van Ampere
Differentiële vorm:
\bm{∇ × B} = \frac{J}{ ε_0 c^2} + \frac{1}{c^2} \frac{∂E}{∂t}
Integrale vorm:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Symbolen die worden gebruikt in de vergelijkingen van Maxwell
De vergelijkingen van Maxwell gebruiken een vrij grote selectie symbolen, en het is belangrijk dat u begrijpt wat deze betekenen als u ze wilt leren toepassen. Dus hier is een overzicht van de betekenissen van de gebruikte symbolen:
B= magnetisch veld
E= elektrisch veld
ρ= elektrische ladingsdichtheid
ε0= permittiviteit van vrije ruimte = 8.854 × 10-12 m-3 kg-1 zo4 EEN2
q= totale elektrische lading (netto som van positieve ladingen en negatieve ladingen)
𝜙B = magnetische flux
J= stroomdichtheid
ik= elektrische stroom
c= lichtsnelheid = 2,998 × 108 Mevrouw
μ0 = doorlaatbaarheid van vrije ruimte = 4π × 10−7 N.v.t2
Bovendien is het belangrijk om te weten dat ∇ de del-operator is, een punt tussen twee grootheden (X ∙ Y) toont een scalair product, een vetgedrukt vermenigvuldigingssymbool tussen twee grootheden is een vectorproduct (X × Y), dat de del-operator met een punt de "divergentie" wordt genoemd (bijv. ∇ ∙ X= divergentie vanX= divX) en een del-operator met een scalair product wordt de krul genoemd (bijv. ∇× Y= krul vanY= krulY). eindelijk, deEENin dEENbetekent het oppervlak van het gesloten oppervlak waarvoor u berekent (soms geschreven als dS), en dezoin dzois een heel klein deel van de grens van het open oppervlak waarvoor u rekent (hoewel dit soms dik, verwijzend naar een oneindig kleine lijncomponent).
Afleiding van de vergelijkingen
De eerste vergelijking van de vergelijkingen van Maxwell is de wet van Gauss en stelt dat de netto elektrische flux door een gesloten oppervlak is gelijk aan de totale lading in de vorm gedeeld door de permittiviteit van free ruimte. Deze wet kan worden afgeleid van de wet van Coulomb, nadat de belangrijke stap is genomen om de wet van Coulomb uit te drukken in termen van een elektrisch veld en het effect dat dit zou hebben op een testlading.
De tweede van Maxwells vergelijkingen is in wezen gelijk aan de bewering dat "er geen magnetische monopolen zijn". Er staat dat dat de netto magnetische flux door een gesloten oppervlak altijd 0 zal zijn, omdat magnetische velden altijd het resultaat zijn van a dipool. De wet kan worden afgeleid van de wet van Biot-Savart, die het magnetische veld beschrijft dat wordt geproduceerd door een stroomelement.
De derde vergelijking - de inductiewet van Faraday - beschrijft hoe een veranderend magnetisch veld een spanning produceert in een lus van draad of geleider. Het is oorspronkelijk afgeleid van een experiment. Echter, gezien het resultaat dat een veranderende magnetische flux een elektromotorische kracht (EMF of spanning) induceert en daardoor een elektrische stroom in een draadlus, en het feit dat EMF wordt gedefinieerd als de lijnintegraal van het elektrische veld rond het circuit, de wet is gemakkelijk te stellen samen.
De vierde en laatste vergelijking, de wet van Ampere (of de wet van Ampere-Maxwell om hem de eer te geven voor zijn) bijdrage) beschrijft hoe een magnetisch veld wordt gegenereerd door een bewegende lading of een veranderende elektrische veld. De wet is het resultaat van een experiment (en was dus – net als alle vergelijkingen van Maxwell – niet echt ‘afgeleid’ in traditionele zin), maar het gebruik vanStelling van Stokesis een belangrijke stap om het basisresultaat in de huidige vorm te krijgen.
Voorbeelden van de vergelijkingen van Maxwell: de wet van Gauss
Om eerlijk te zijn, vooral als je niet precies op de hoogte bent van je vectorberekening, zien de vergelijkingen van Maxwell er behoorlijk ontmoedigend uit, ondanks hoe relatief compact ze allemaal zijn. De beste manier om ze echt te begrijpen, is door enkele voorbeelden van het gebruik ervan in de praktijk door te nemen, en de wet van Gauss is de beste plaats om te beginnen. De wet van Gauss is in wezen een meer fundamentele vergelijking die het werk doet van de wet van Coulomb, en het is: vrij eenvoudig om de wet van Coulomb ervan af te leiden door het elektrische veld te beschouwen dat door een punt wordt geproduceerd in rekening brengen.
De kosten bellenq, is het belangrijkste punt bij het toepassen van de wet van Gauss het kiezen van het juiste "oppervlak" om de elektrische flux doorheen te onderzoeken. In dit geval werkt een bol goed, die een oppervlakte heeftEEN = 4πr2, omdat je de bol op de puntlading kunt centreren. Dit is een enorm voordeel bij het oplossen van dit soort problemen, omdat je dan geen variërend veld over het oppervlak hoeft te integreren; het veld zal symmetrisch zijn rond de puntlading, en dus constant over het oppervlak van de bol. Dus de integraalvorm:
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Kan worden uitgedrukt als:
E × 4πr^2 = \frac{q}{ε_0}
Merk op dat deEwant het elektrische veld is vervangen door een eenvoudige grootte, omdat het veld van een puntlading zich eenvoudig in alle richtingen vanaf de bron zal verspreiden. Nu, delen door het oppervlak van de bol geeft:
E = \frac{q}{4πε_0r^2}
Omdat de kracht gerelateerd is aan het elektrische veld door:E = F/q, waarqis een testlading,F = qE, en dus:
F = \frac{q_1q_2}{4πε_0r^2}
Waar de subscripts zijn toegevoegd om de twee kosten te onderscheiden. Dit is de wet van Coulomb in standaardvorm, waarvan is aangetoond dat het een eenvoudig gevolg is van de wet van Gauss.
Voorbeelden van de vergelijkingen van Maxwell: de wet van Faraday
Met de wet van Faraday kun je de elektromotorische kracht berekenen in een draadlus als gevolg van een veranderend magnetisch veld. Een eenvoudig voorbeeld is een draadlus, met straalr= 20 cm, in een magnetisch veld dat in grootte toeneemt vanBik = 1 T totBf = 10 T in de ruimte van ∆t= 5 s – wat is de geïnduceerde EMV in dit geval? De integrale vorm van de wet omvat de flux:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ ∂t}
die wordt gedefinieerd als:
ϕ = BA \cos (θ)
Het belangrijkste deel van het probleem hier is het vinden van de snelheid van verandering van flux, maar aangezien het probleem vrij eenvoudig is, kun je de partiële afgeleide vervangen door een eenvoudige "verandering in" elke hoeveelheid. En de integraal betekent eigenlijk gewoon de elektromotorische kracht, dus je kunt de inductiewet van Faraday herschrijven als:
\text{EMF} = − \frac{∆BA \cos (θ)}{∆t}
Als we aannemen dat de draadlus zijn normaal heeft uitgelijnd met het magnetische veld,θ= 0° en dus cos (θ) = 1. Dit laat:
\text{EMF} = − \frac{∆BA}{∆t}
Het probleem kan dan worden opgelost door het verschil tussen het initiële en uiteindelijke magnetische veld en het gebied van de lus als volgt te vinden:
\begin{aligned} \text{EMF} &= − \frac{∆BA}{∆t} \\ &= − \frac{(B_f - B_i) × πr^2}{∆t} \\ &= − \frac{(10 \text{ T}- 1 \text{ T}) × π × (0.2 \text{ m})^2}{5 \text{ s}} \\ &= − 0.23 \text{ V } \end{uitgelijnd}
Dit is slechts een kleine spanning, maar de wet van Faraday wordt hoe dan ook op dezelfde manier toegepast.
Voorbeelden van Maxwell's vergelijkingen: Ampere-Maxwell Law
De Ampere-Maxwell-wet is de laatste van de Maxwell-vergelijkingen die u regelmatig moet toepassen. De vergelijking keert terug naar de wet van Ampere in de afwezigheid van een veranderend elektrisch veld, dus dit is het gemakkelijkste voorbeeld om te overwegen. Je kunt het gebruiken om de vergelijking af te leiden voor een magnetisch veld dat het resultaat is van een rechte draad die stroom voertik, en dit basisvoorbeeld is voldoende om te laten zien hoe de vergelijking wordt gebruikt. De volledige wet is:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E ∙ }d\bm{A }
Maar zonder veranderend elektrisch veld wordt het gereduceerd tot:
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I
Als je nu, net als bij de wet van Gauss, een cirkel kiest voor het oppervlak, gecentreerd op de draadlus, suggereert intuïtie dat het resulterende magnetische veld zal symmetrisch zijn, en dus kun je de integraal vervangen door een eenvoudig product van de omtrek van de lus en de magnetische veldsterkte, vertrek:
B × 2πr = μ_0 I
Door delen door 2πrgeeft:
B = \frac{μ_0 I}{2πr}
Wat is de geaccepteerde uitdrukking voor het magnetische veld op afstandrals gevolg van een rechte draad die stroom voert.
Elektromagnetische golven
Toen Maxwell zijn verzameling vergelijkingen samenstelde, begon hij er oplossingen voor te vinden om verschillende te helpen verklaren fenomenen in de echte wereld, en het inzicht dat het gaf in licht is een van de belangrijkste resultaten die hij verkregen.
Omdat een veranderend elektrisch veld een magnetisch veld genereert (volgens de wet van Ampere) en een veranderend magnetisch veld genereert een elektrisch veld (volgens de wet van Faraday), ontdekte Maxwell dat een zichzelf voortplantende elektromagnetische golf zou kunnen zijn: mogelijk. Hij gebruikte zijn vergelijkingen om de golfvergelijking te vinden die zo'n golf zou beschrijven en bepaalde dat deze met de snelheid van het licht zou reizen. Dit was een soort 'eureka'-moment; hij realiseerde zich dat licht een vorm van elektromagnetische straling is, die werkt zoals het veld dat hij zich voorstelde!
Een elektromagnetische golf bestaat uit een elektrische veldgolf en een magnetische veldgolf die heen en weer oscilleert, haaks op elkaar uitgelijnd. De oscillatie van het elektrische deel van de golf genereert het magnetische veld, en de oscillatie van dit deel produceert op zijn beurt weer een elektrisch veld, steeds weer terwijl het door de ruimte reist.
Net als elke andere golf heeft een elektromagnetische golf een frequentie en een golflengte, en het product hiervan is altijd gelijk aanc, de snelheid van het licht. Elektromagnetische golven zijn overal om ons heen, en naast zichtbaar licht worden andere golflengten gewoonlijk radiogolven, microgolven, infrarood, ultraviolet, röntgenstralen en gammastralen genoemd. Al deze vormen van elektromagnetische straling hebben dezelfde basisvorm als verklaard door de vergelijkingen van Maxwell, maar hun energie varieert met de frequentie (d.w.z. een hogere frequentie betekent een hogere energie).
Dus voor een natuurkundige was het Maxwell die zei: "Laat er licht zijn!"