Of het nu een schaatser is die haar armen intrekt en sneller ronddraait dan zij of een kat die bepaalt hoe snel hij draait tijdens een val om ervoor te zorgen dat het op zijn voeten landt, is het concept van een traagheidsmoment cruciaal voor de fysica van rotatie beweging.
Ook wel bekend als rotatietraagheid, is het traagheidsmoment het rotatieanaloog van massa in de tweede van de bewegingswetten van Newton, die de neiging van een object beschrijft om hoekversnelling te weerstaan.
Het concept lijkt op het eerste gezicht misschien niet zo interessant, maar in combinatie met de wet van behoud van hoek momentum, kan het worden gebruikt om veel fascinerende fysieke verschijnselen te beschrijven en beweging te voorspellen in een breed scala van situaties.
Definitie van traagheidsmoment
Het traagheidsmoment van een object beschrijft zijn weerstand tegen hoekversnelling, rekening houdend met de verdeling van de massa rond zijn rotatie-as.
Het kwantificeert in wezen hoe moeilijk het is om de snelheid van de rotatie van een object te veranderen, of dat nu betekent het starten van de rotatie, het stoppen of het veranderen van de snelheid van een reeds roterend object.
Het wordt soms rotatietraagheid genoemd, en het is nuttig om het te beschouwen als een analoog van massa in de tweede wet van Newton:Fnetto- = ma. Hier wordt de massa van een object vaak de traagheidsmassa genoemd en beschrijft de weerstand van het object tegen (lineaire) beweging. Rotatietraagheid werkt precies zo voor rotatiebeweging, en de wiskundige definitie omvat altijd massa.
De equivalente uitdrukking voor de tweede wet voor rotatiebeweging betreft:koppel (τ, de rotatie-analoog van kracht) naar hoekversnellingαen traagheidsmomentik:
\tau =I\alpha
Hetzelfde object kan echter meerdere traagheidsmomenten hebben, omdat hoewel een groot deel van de definitie gaat over de verdeling van massa, het ook verantwoordelijk is voor de locatie van de rotatie-as.
Bijvoorbeeld, terwijl het traagheidsmoment voor een staaf die rond zijn middelpunt draait, isik = ML2/12 (waarMis massa enLis de lengte van de staaf), dezelfde staaf die rond één uiteinde draait, heeft een traagheidsmoment gegeven doorik = ML2/3.
Vergelijkingen voor traagheidsmoment
Dus het traagheidsmoment van een lichaam hangt af van zijn massaM, zijn straalRen zijn draaiingsas.
In sommige gevallen,Rwordt aangeduid alsd, voor afstand vanaf de rotatieas, en in andere (zoals bij de staaf in de vorige sectie) wordt deze vervangen door lengte,L. Het symboolikwordt gebruikt voor het traagheidsmoment en heeft eenheden van kg m2.
Zoals je zou verwachten op basis van wat je tot nu toe hebt geleerd, zijn er veel verschillende vergelijkingen voor traagheidsmomenten, en elk verwijst naar een specifieke vorm en een specifieke rotatie-as. In alle traagheidsmomenten is de termDHR2 verschijnt, hoewel er voor verschillende vormen verschillende breuken voor deze term staan, en in sommige gevallen kunnen er meerdere termen bij elkaar worden opgeteld.
DeDHR2 component is het traagheidsmoment voor een puntmassa op afstandRvan de rotatieas, en de vergelijking voor een specifiek star lichaam wordt opgebouwd als een som van puntmassa's, of door een oneindig aantal kleine puntmassa's over het object te integreren.
Hoewel het in sommige gevallen nuttig kan zijn om het traagheidsmoment van een object af te leiden op basis van een eenvoudige rekenkundige som van puntmassa's of door integreren, in de praktijk zijn er veel resultaten voor veelvoorkomende vormen en rotatie-assen die u eenvoudig kunt gebruiken zonder deze af te leiden eerste:
Massieve cilinder (symmetrie-as):
I = \frac{1}{2} MR^2
Massieve cilinder (hartlijndiameter of de diameter van de cirkelvormige doorsnede in het midden van de cilinder):
I = \frac{1}{4} MR^2+\frac{1}{12} ML^2
Vaste bol (centrale as):
I = \frac{2}{5} MR^2
Dunne bolvormige schaal (centrale as):
I = \frac{2}{3} MR^2
Hoepel (symmetrie-as, d.w.z. loodrecht door het midden):
ik = MR ^ 2
Hoepel (diameter-as, d.w.z. over de diameter van de cirkel gevormd door de hoepel):
I = \frac{1}{2} MR^2
Stang (middenas, loodrecht op staaflengte):
I = \frac{1}{12} ML^2
Staaf (om het uiteinde draaiend):
I = \frac{1}{3} ML^2
Rotatietraagheid en rotatie-as
Begrijpen waarom er verschillende vergelijkingen zijn voor elke rotatie-as is een belangrijke stap om het concept van een traagheidsmoment te begrijpen.
Denk aan een potlood: je kunt het draaien door het in het midden, aan het uiteinde of door het rond zijn centrale as te draaien. Omdat de rotatietraagheid van een object afhangt van de verdeling van de massa rond de rotatie-as, is elk van deze situaties anders en is er een aparte vergelijking nodig om het te beschrijven.
Je kunt een instinctief begrip krijgen van het concept van traagheidsmoment als je hetzelfde argument opschaalt naar een vlaggenmast van 30 voet.
Het heen en weer draaien zou erg moeilijk zijn - als je het al zou kunnen - terwijl het veel gemakkelijker zou zijn om de paal om zijn centrale as te draaien. Dit komt omdat het koppel sterk afhangt van de afstand tot de rotatie-as, en in de 30-voet Voorbeeld van een vlaggenmast, waarbij het uiteinde over het uiteinde wordt gedraaid, omvat elk uiterste uiteinde 15 voet verwijderd van de as van rotatie.
Als je het echter rond de centrale as draait, is alles vrij dicht bij de as. De situatie lijkt veel op het dragen van een zwaar voorwerp op armlengte vs. het dicht bij uw lichaam houden, of een hendel bedienen vanaf het einde vs. dicht bij het steunpunt.
Daarom heb je een andere vergelijking nodig om het traagheidsmoment voor hetzelfde object te beschrijven, afhankelijk van de rotatie-as. De as die u kiest, beïnvloedt hoe ver delen van het lichaam van de rotatie-as verwijderd zijn, ook al blijft de massa van het lichaam hetzelfde.
De vergelijkingen voor traagheidsmoment gebruiken
De sleutel tot het berekenen van het traagheidsmoment voor een star lichaam is het leren gebruiken en toepassen van de juiste vergelijkingen.
Beschouw het potlood uit het vorige gedeelte, dat over de hele lengte rond een centraal punt wordt gesponnen. Hoewel het geenperfectstaaf (de puntige punt breekt deze vorm bijvoorbeeld) het kan als zodanig worden gemodelleerd om te voorkomen dat u een volledig traagheidsmoment voor het object hoeft af te leiden.
Dus als je het object als een staaf modelleert, zou je de volgende vergelijking gebruiken om het traagheidsmoment te vinden, gecombineerd met de totale massa en lengte van het potlood:
I = \frac{1}{12} ML^2
Een grotere uitdaging is het vinden van het traagheidsmoment voor samengestelde objecten.
Beschouw bijvoorbeeld twee ballen die met elkaar zijn verbonden door een staaf (die we als massaloos zullen behandelen om het probleem te vereenvoudigen). Bal één is 2 kg en bevindt zich op 2 m afstand van de rotatie-as, en bal twee is 5 kg in massa en 3 m verwijderd van de rotatie-as.
In dit geval kun je het traagheidsmoment voor dit samengestelde object vinden door elke bal als een puntmassa te beschouwen en te werken vanuit de basisdefinitie dat:
\begin{aligned} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + m_3r_3^2….\\ &= \sum_{\mathclap{i}}m_ir_i^2 \end{aligned}
Met de subscripts die eenvoudig onderscheid maken tussen verschillende objecten (d.w.z. bal 1 en bal 2). Het object met twee ballen zou dan hebben:
\begin{uitgelijnd} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2\\ &= 2 \;\text{kg} × (2 \;\text{m})^2 + 5 \;\text{kg} × (3 \;\text{m})^2 \\ &= 8 \;\text{kg m}^2 + 45 \;\text{kg m}^2 \\ &= 53 \;\text{kg m}^2 \end{uitgelijnd}
Traagheidsmoment en behoud van hoekmoment
Impulsmoment (de rotatie-analoog voor lineair momentum) wordt gedefinieerd als het product van de rotatietraagheid (d.w.z. het traagheidsmoment,ik) van het object en zijn hoeksnelheidω), die wordt gemeten in graden/s of rad/s.
U zult ongetwijfeld bekend zijn met de wet van behoud van lineair momentum, en impulsmoment wordt ook op dezelfde manier behouden. De vergelijking voor impulsmomentL) is:
L = Iω
Nadenken over wat dit in de praktijk betekent, verklaart veel fysieke verschijnselen, want (bij afwezigheid van andere krachten), hoe hoger de rotatietraagheid van een object, hoe lager de hoeksnelheid.
Beschouw een schaatser die ronddraait met een constante hoeksnelheid met uitgestrekte armen, en merk op dat zijn uitgestrekte armen de straal vergrotenRwaarover zijn massa wordt verdeeld, wat leidt tot een groter traagheidsmoment dan wanneer zijn armen dicht bij zijn lichaam zouden zijn.
AlsL1 wordt berekend met zijn uitgestrekte armen, enL2, wat gebeurt er als hij zijn traagheidsmoment vermindert door zijn armen naar binnen te trekken nadat hij dezelfde waarde moet hebben (omdat het impulsmoment behouden blijft)? Zijn hoeksnelheidωneemt toe om te compenseren.
Katten voeren soortgelijke bewegingen uit om hen te helpen op hun poten te landen als ze vallen.
Door hun benen en staart uit te strekken, vergroten ze hun traagheidsmoment en verminderen ze de snelheid van hun rotatie, en omgekeerd kunnen ze hun benen naar binnen trekken om hun traagheidsmoment te verminderen en hun rotatiesnelheid te verhogen. Ze gebruiken deze twee strategieën - samen met andere aspecten van hun "oprichtreflex" - om ervoor te zorgen dat hun voeten landen ten eerste, en je kunt verschillende fasen van opkrullen en uitrekken zien in time-lapse-foto's van een kat landen.
Traagheidsmoment en roterende kinetische energie
Door de parallellen tussen lineaire beweging en rotatiebeweging voort te zetten, hebben objecten ook kinetische rotatie-energie op dezelfde manier als lineaire kinetische energie.
Denk aan een bal die over de grond rolt, zowel rond zijn centrale as draait als lineair naar voren beweegt: de totale kinetische energie van de bal is de som van zijn lineaire kinetische energieEk en zijn roterende kinetische energieErot. De parallellen tussen deze twee energieën worden weerspiegeld in de vergelijkingen voor beide, waarbij we bedenken dat de van een object traagheidsmoment is het rotatie-analoog van massa en de hoeksnelheid is het rotatie-analoog van lineair snelheidv):
E_k = \frac{1}{2}mv^2
E_{rot} = \frac{1}{2}Iω^2
Je kunt duidelijk zien dat beide vergelijkingen exact dezelfde vorm hebben, waarbij de juiste rotatie-analogen de rotatie-kinetische energievergelijking hebben vervangen.
Om de kinetische rotatie-energie te berekenen, moet je natuurlijk de juiste uitdrukking voor het traagheidsmoment voor het object vervangen door de ruimte voorik. Als we de bal beschouwen en het object als een vaste bol modelleren, is de vergelijking in dit geval:
\begin{aligned} E_{rot} &= \bigg(\frac{2}{5} MR^2\bigg) \frac{1}{2} ω^2 \\ &= \frac{1}{5 }MR^2 ω^2 \end{uitgelijnd}
De totale kinetische energie (Etot) is de som hiervan en de kinetische energie van de bal, dus je kunt schrijven:
\begin{aligned} E_{tot} &= E_k + E_{rot} \\ &= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}MR^2 ω^2 \end{ uitgelijnd}
Voor een bal van 1 kg die beweegt met een lineaire snelheid van 2 m/s, met een straal van 0,3 m en met een hoeksnelheid van 2π rad/s, zou de totale energie zijn:
\begin{aligned} E_{tot} &= \frac{1}{2} 1 \;\text{kg} × (2 \;\text{m/s})^2 + \frac{1}{5 }(1 \;\text{kg} × (0.3 \;\text{m})^2 × (2π \;\text{rad/s})^2) \\ &= 2 \;\text{J} + 0.71 \;\text{J} \\ & = 2,71 \;\tekst{J} \end{uitgelijnd}
Afhankelijk van de situatie kan een object alleen lineaire kinetische energie hebben (bijvoorbeeld een bal die van een hoogte waar geen spin op wordt uitgeoefend) of alleen roterende kinetische energie (een bal die ronddraait maar op zijn plaats blijft).
Onthoud dat het zo istotaalenergie die wordt bespaard. Als een bal tegen een muur wordt getrapt zonder aanvankelijke rotatie, en hij stuitert terug met een lagere snelheid maar met een spin, evenals de energie verloren aan geluid en warmte toen het contact maakte, is een deel van de aanvankelijke kinetische energie omgezet in roterende kinetische energie, en duskan nietmogelijk net zo snel bewegen als voordat het terugkaatste.
