Tel de waarden van de drie hoeken in een willekeurige driehoek op en je krijgt 180 graden. Als je een rechthoekige driehoek hebt, is een van de hoeken per definitie 90 graden. Dat betekent dat de som van de andere twee hoeken 90 graden moet zijn, en als je er een kent, kun je de andere meteen vinden. Maar hoe vind je de hoeken als je het ook niet weet? Het antwoord is te vertrouwen op de andere belangrijke eigenschap van de driehoek, de lengtes van de zijden. Ze zijn gerelateerd aan de grootte van de hoeken.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Vind de hoeken in een rechthoekige driehoek door hun sinus, cosinus of tangens te berekenen, die functies zijn van de lengtes van de zijden van de driehoek.
Sinus, cosinus en tangens
Als je kiest welke van de twee hoeken (ø) in een rechthoekige driehoek je wilt vinden, bepaal je drie zijden ten opzichte daarvan. De lijn die de hoek raakt en zich uitstrekt tot de hoek van 90 graden wordt de genoemdaangrenzendzijde, terwijl de zijde tegenover de hoek de istegenover
kant. Dehypotenusais altijd de zijde tegenover de rechte hoek. Op basis van deze definities gebruiken wiskundigen drie verhoudingen die de hoek definiëren in termen van de lengtes van de zijden:sinus (zonde)is de verhouding van de andere kant tot de hypotenusa:
\sin ø = \frac{\text{tegenover}}{\text{hypotenuse}}
cosinus (cos)is de verhouding van de aangrenzende zijde tot de hypotenusa:
\cos ø = \frac{\text{aangrenzend}}{\text{hypotenuse}}
Raaklijn (bruin)is de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde:
\tan ø = \frac{\text{tegenover}}{\text{aangrenzend}}
Elke verhouding van elk paar lijnen komt overeen met een bepaalde hoek, en deze verhoudingen worden getabelleerd samen met de hoeken die ze definiëren. Als je de lengtes van ten minste twee zijden van een rechthoekige driehoek kunt meten, hoef je alleen maar de sinus, cosinus of tangens van de hoek te berekenen en een tabel te gebruiken om deze op te zoeken.
Een ladder tegen een muur
Een van de bekendste real-world toepassingen van deze principes is een ladder die tegen een verticale muur rust. De grootte van de hoeken die de ladder vormt met de grond en de muur zijn van het grootste belang. Als de hoek tegen de muur te klein is, zal de ladder naar achteren vallen, terwijl als de hoek op de grond te klein is, de ladder zal wegglijden. Omdat de hoek tussen de muur en de grond 90 graden is, kun je de twee hoeken van de ladder berekenen met sinus, cosinus of tangens, en zo kun je een ongeluk voorkomen.
De ladder vormt de hypotenusa van de rechthoekige driehoek.
Deze afstand is de aangrenzende zijde bij het bepalen van de hoek die de ladder maakt met de grond.
Gebruik cosinustafels om de hoek te vinden die de ladder maakt met de grond. Bereken de verhouding van de aangrenzende zijde tot de hypotenusa en zoek vervolgens de verhouding op in een tabel met cosinuslijnen om de bijbehorende hoek te vinden.
Bereken de hoek die de ladder maakt met de muur door de hoek die je zojuist hebt gevonden af te trekken van 90. Als alternatief kunt u de waarde van deze hoek vinden met behulp van een sinustabel.
Voorbeeld
Een ladder van 20 voet rust tegen de zijkant van een huis en de afstand van de basis van de ladder tot de fundering is 12 voet. Welke hoeken maakt de ladder met de grond en het huis?
Bereken de cosinus van de hoek die de ladder met de grond maakt. Haar
\frac{12}{20} = 0,6
Met behulp van een tabel met cosinuslijnen (of een wetenschappelijke rekenmachine) zul je zien dat de hoek bijna precies 53 graden is. Dit maakt de hoek van de ladder tegen de muur
90 - 53 = 36 \tekst{ graden}
Tips
Als je je rekenmachine gebruikt en je weet de cosinus van een hoek, druk dan op de cos-1 toets om de hoek te vinden. Hetzelfde geldt voor sinus en tangens.