In de algebra zijn reeksen getallen waardevol om te bestuderen wat er gebeurt als iets steeds groter of kleiner wordt. Een rekenkundige reeks wordt gedefinieerd door het gemeenschappelijke verschil, dat het verschil is tussen het ene getal en het volgende in de reeks. Voor rekenkundige reeksen is dit verschil een constante waarde en kan het positief of negatief zijn. Als gevolg hiervan wordt een rekenkundige reeks steeds groter of kleiner met een vast bedrag telkens wanneer een nieuw nummer wordt toegevoegd aan de lijst waaruit de reeks bestaat.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een rekenkundige reeks is een lijst met getallen waarin opeenvolgende termen met een constant aantal verschillen, het gemeenschappelijke verschil. Wanneer het gemeenschappelijke verschil positief is, blijft de reeks toenemen met een vast bedrag, terwijl als het negatief is, de reeks afneemt. Andere veel voorkomende reeksen zijn de geometrische reeks, waarin termen verschillen door een gemeenschappelijke factor, en de Fibonacci-reeks, waarin elk getal de som is van de twee voorgaande getallen.
Hoe een rekenkundige reeks werkt
Een rekenkundige reeks wordt gedefinieerd door een startgetal, een gemeenschappelijk verschil en het aantal termen in de reeks. Bijvoorbeeld, een rekenkundige reeks die begint met 12, een veelvoorkomend verschil van 3 en vijf termen is 12, 15, 18, 21, 24. Een voorbeeld van een afnemende reeks is er een die begint met het getal 3, een veelvoorkomend verschil van −2 en zes termen. Deze reeks is 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Rekenkundige rijen kunnen ook een oneindig aantal termen hebben. De eerste reeks hierboven met een oneindig aantal termen zou bijvoorbeeld 12, 15, 18,... en die reeks gaat door tot in het oneindige.
rekenkundig gemiddelde
Een rekenkundige reeks heeft een overeenkomstige reeks die alle termen van de reeks optelt. Wanneer de termen worden opgeteld en de som wordt gedeeld door het aantal termen, is het resultaat het rekenkundig gemiddelde of gemiddelde. De formule voor het rekenkundig gemiddelde is
\text{gemiddelde}= \frac{ \text{som van }n \text{ termen}}{n}
Een snelle manier om het gemiddelde van een rekenkundige rij te berekenen, is door de waarneming te gebruiken dat, wanneer de eerste en de laatste termen worden opgeteld, is de som hetzelfde als wanneer de op één na laatste termen worden opgeteld of de derde en op één na laatste voorwaarden. Als resultaat is de som van de reeks de som van de eerste en laatste termen maal de helft van het aantal termen. Om het gemiddelde te krijgen, wordt de som gedeeld door het aantal termen, dus het gemiddelde van een rekenkundige reeks is de helft van de som van de eerste en de laatste termen. Voorneetermeneen1 naareennee, de corresponderende formule voor de gemiddelde m is
m= \frac{a_1+a_n}{2}
Oneindige rekenkundige rijen hebben geen laatste term en daarom is hun gemiddelde niet gedefinieerd. In plaats daarvan kan een gemiddelde voor een gedeeltelijke som worden gevonden door de som te beperken tot een bepaald aantal termen. In dat geval kunnen de partiële som en het gemiddelde ervan op dezelfde manier worden gevonden als voor een niet-oneindige reeks.
Andere soorten reeksen
Nummerreeksen zijn vaak gebaseerd op waarnemingen uit experimenten of metingen van natuurlijke fenomenen. Dergelijke reeksen kunnen willekeurige getallen zijn, maar vaak blijken reeksen rekenkundige of andere geordende getallenlijsten te zijn.
Geometrische reeksen verschillen bijvoorbeeld van rekenkundige reeksen omdat ze een gemeenschappelijke factor hebben in plaats van een gemeenschappelijk verschil. In plaats van voor elke nieuwe term een getal op te tellen of af te trekken, wordt een getal vermenigvuldigd of gedeeld telkens wanneer een nieuwe term wordt toegevoegd. Een reeks van 10, 12, 14,... als een rekenkundige rij met een gemeenschappelijk verschil van 2 10, 20, 40,... als een geometrische reeks met een gemeenschappelijke factor van 2.
Andere sequenties volgen totaal andere regels. De rijtermen van Fibonacci worden bijvoorbeeld gevormd door de vorige twee getallen op te tellen. De volgorde is 1, 1, 2, 3, 5, 8,... De termen moeten afzonderlijk worden opgeteld om een gedeeltelijke som te krijgen, omdat de snelle methode van het toevoegen van de eerste en laatste termen niet werkt voor deze reeks.
Rekenkundige reeksen zijn eenvoudig, maar ze hebben toepassingen in het echte leven. Als het startpunt bekend is en het gemeenschappelijke verschil kan worden gevonden, kan de waarde van de reeks op een bepaald punt in de toekomst worden berekend en kan ook de gemiddelde waarde worden bepaald.