In de wiskunde is een reeks een reeks getallen die in oplopende of afnemende volgorde is gerangschikt. Een reeks wordt een geometrische reeks wanneer u elk getal kunt verkrijgen door het vorige getal te vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke factor. Bijvoorbeeld de serie 1, 2, 4, 8, 16... is een meetkundige rij met de gemeenschappelijke factor 2. Als je een willekeurig getal in de reeks met 2 vermenigvuldigt, krijg je het volgende getal. Daarentegen de reeks 2, 3, 5, 8, 14, 22... is niet geometrisch omdat er geen gemeenschappelijke factor is tussen getallen. Een geometrische reeks kan een fractionele gemeenschappelijke factor hebben, in welk geval elk opeenvolgend getal kleiner is dan het voorgaande. 1, 1/2, 1/4, 1/8... is een voorbeeld. De gemeenschappelijke factor is 1/2.
Het feit dat een geometrische reeks een gemeenschappelijke factor heeft, stelt je in staat om twee dingen te doen. De eerste is om elk willekeurig element in de reeks te berekenen (wat wiskundigen graag de "neeth" element), en de tweede is het vinden van de som van de meetkundige reeks tot aan de
neehet element. Wanneer je de reeks optelt door een plusteken tussen elk paar termen te plaatsen, verander je de reeks in een geometrische reeks.Het nde element in een geometrische reeks vinden
Over het algemeen kun je elke geometrische reeks op de volgende manier voorstellen:
a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +.. .
waar "een" is de eerste term in de reeks en "r" is de gemeenschappelijke factor. Bekijk om dit te controleren de reeks waarin:een= 1 enr= 2. Je krijgt 1 + 2 + 4 + 8 + 16... het werkt!
Nadat dit is vastgesteld, is het nu mogelijk om een formule af te leiden voor de n-de term in de reeks (Xnee).
x_n = ar^{(n-1)}
De exponent isnee− 1 in plaats vanneezodat de eerste term in de reeks kan worden geschreven alsar0, wat gelijk is aan "een."
Controleer dit door de 4e term in de voorbeeldreeks te berekenen.
x_4 = (1) × 2^3 = 8
De som van een geometrische reeks berekenen
Als je een divergente rij wilt optellen, namelijk een rij met een gemeenschappelijk rantsoen groter dan 1 of kleiner dan -1, dan kan dat tot een eindig aantal termen. Het is echter mogelijk om de som te berekenen van een oneindige convergente rij, die er een is met een gemeenschappelijke verhouding tussen 1 en − 1.
Om de geometrische somformule te ontwikkelen, begint u met te overwegen wat u aan het doen bent. U zoekt het totaal van de volgende reeks toevoegingen:
a + ar + ar^2 + ar^3 +... + een ^{(n-1)}
Elke term in de reeks isark, enkgaat van 0 totnee− 1. De formule voor de som van de reeks maakt gebruik van het hoofdsigmateken – ∑ – wat betekent dat alle termen van (k= 0) tot (k = nee − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
Om dit te controleren, beschouw de som van de eerste 4 termen van de meetkundige reeks beginnend bij 1 en met een gemeenschappelijke factor van 2. In de bovenstaande formule,een = 1, r= 2 ennee= 4. Als u deze waarden invoegt, krijgt u:
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
Dit is eenvoudig te verifiëren door zelf de nummers in de reeks toe te voegen. Als je de som van een meetkundige reeks nodig hebt, is het meestal gemakkelijker om de getallen zelf toe te voegen als er maar een paar termen zijn. Als de reeks echter een groot aantal termen heeft, is het veel gemakkelijker om de geometrische somformule te gebruiken.