De wet van waarschijnlijkheid

Waarschijnlijkheid meet de kans dat een gebeurtenis zich voordoet. Wiskundig uitgedrukt, kans is gelijk aan het aantal manieren waarop een bepaalde gebeurtenis kan plaatsvinden, gedeeld door het totale aantal van alle mogelijke gebeurtenissen. Als je bijvoorbeeld een zak hebt met drie knikkers - een blauwe knikker en twee groene knikkers - is de kans dat je ongezien een blauwe knikker grijpt 1/3. Er is één mogelijke uitkomst waarbij het blauwe marmer wordt geselecteerd, maar in totaal drie mogelijke proefresultaten: blauw, groen en groen. Met dezelfde wiskunde is de kans om een ​​groene knikker te pakken 2/3.

Je kunt de onbekende waarschijnlijkheid van een gebeurtenis ontdekken door te experimenteren. Gebruik het vorige voorbeeld, stel dat je de kans niet weet om een ​​bepaalde gekleurde knikker te trekken, maar je weet dat er drie knikkers in de zak zitten. Je voert een proef uit en trekt een groene knikker. Je voert nog een proef uit en trekt nog een groene knikker. Op dit punt zou je kunnen beweren dat de zak alleen groene knikkers bevat, maar op basis van twee proeven is je voorspelling niet betrouwbaar. Het is mogelijk dat de zak alleen groene knikkers bevat of dat de andere twee rood zijn en dat u achtereenvolgens de enige groene knikkers hebt geselecteerd. Als je dezelfde proef 100 keer uitvoert, zul je waarschijnlijk ontdekken dat je ongeveer 66% van de tijd een groene knikker kiest. Deze frequentie geeft de juiste kans nauwkeuriger weer dan uw eerste experiment. Dit is de wet van de grote getallen: hoe groter het aantal proeven, hoe nauwkeuriger de frequentie van de uitkomst van een gebeurtenis de werkelijke waarschijnlijkheid weerspiegelt.

Kans kan alleen variëren van 0 tot 1. Een kans van 0 betekent dat er geen mogelijke uitkomsten zijn voor die gebeurtenis. In ons vorige voorbeeld is de kans om een ​​rode knikker te trekken nul. Een kans van 1 betekent dat de gebeurtenis zich in elke proef zal voordoen. De kans dat je een groene knikker of een blauwe knikker trekt is 1. Er zijn geen andere mogelijke uitkomsten. In de zak met een blauwe knikker en twee groene is de kans om een ​​groene knikker te trekken 2/3. Dit is een acceptabel aantal omdat 2/3 groter is dan 0, maar kleiner dan 1 - binnen het bereik van acceptabele waarschijnlijkheidswaarden. Als je dit weet, kun je de wet van aftrekken toepassen, die stelt dat als je de kans op een gebeurtenis kent, je de kans dat die gebeurtenis niet optreedt nauwkeurig kunt aangeven. Als je weet dat de kans dat je een groene knikker trekt 2/3 is, kun je die waarde van 1 aftrekken en de kans bepalen dat je geen groene knikker trekt: 1/3.

Als je de kans wilt vinden dat twee gebeurtenissen in opeenvolgende proeven plaatsvinden, gebruik dan de wet van vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld, in plaats van de vorige drie gemarmerde zak, stel dat er een vijf gemarmerde zak is. Er is een blauwe knikker, twee groene knikkers en twee gele knikkers. Als je de kans wilt vinden om een ​​blauwe knikker en een groene knikker te tekenen, in een willekeurige volgorde (en zonder terug te keren) de eerste knikker naar de zak), vind de kans om een ​​blauwe knikker te trekken en de kans om een ​​groene te trekken marmeren. De kans om een ​​blauwe knikker uit de zak met vijf knikkers te trekken is 1/5. De kans om een ​​groene knikker uit de resterende set te trekken is 2/4 of 1/2. Het correct toepassen van de wet van vermenigvuldiging houdt in dat de twee kansen, 1/5 en 1/2, worden vermenigvuldigd voor een kans van 1/10. Dit drukt de waarschijnlijkheid uit dat de twee gebeurtenissen samen voorkomen.

Door toe te passen wat u weet over de wet van vermenigvuldiging, kunt u de kans bepalen dat slechts één van de twee gebeurtenissen plaatsvindt. De wet van optelling stelt dat de kans dat één op de twee gebeurtenissen plaatsvindt gelijk is aan de som van de kansen dat elke gebeurtenis afzonderlijk plaatsvindt, minus de kans op beide gebeurtenissen voorkomen. Stel in de zak met vijf marmeren tegels dat je de kans wilt weten om een ​​blauwe knikker of een groene knikker te tekenen. Tel de kans op het trekken van een blauwe knikker (1/5) op bij de kans op het trekken van een groene knikker (2/5). De som is 3/5. In het vorige voorbeeld waarin de wet van vermenigvuldiging werd uitgedrukt, vonden we dat de kans om zowel een blauwe als een groene knikker te trekken 1/10 is. Trek dit af van de som van 3/5 (of 6/10 voor gemakkelijker aftrekken) voor een uiteindelijke kans van 1/2.