Het integreren van functies is een van de kerntoepassingen van calculus. Soms is dit eenvoudig, zoals in:
F(x) = \int( x^3 + 8) dx
In een relatief gecompliceerd voorbeeld van dit type kun je een versie van de basisformule gebruiken voor het integreren van onbepaalde integralen:
\int (x^n + A) dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
waarEENenCzijn constanten.
Dus voor dit voorbeeld
\int x^3 + 8 = \frac{x^4}{4} + 8x + C
Integratie van basis vierkantswortelfuncties
Oppervlakkig gezien is het integreren van een vierkantswortelfunctie lastig. U kunt bijvoorbeeld worden belemmerd door:
F(x) = \int \sqrt{(x^3) + 2x - 7}dx
Maar je kunt een vierkantswortel uitdrukken als een exponent, 1/2:
\sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
De integraal wordt dus:
\int (x^{3/2} + 2x - 7)dx
waarop u de gebruikelijke formule van bovenaf kunt toepassen:
\begin{uitgelijnd} \int (x^{3/2} + 2x - 7)dx &= \frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2\bigg(\frac{x ^2}{2}\bigg) - 7x \\ &= \frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 - 7x \end{aligned}
Integratie van complexere vierkantswortelfuncties
Soms heb je meer dan één term onder het wortelteken, zoals in dit voorbeeld:
F(x) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x - 3}}dx
Je kunt gebruikenjij-vervanging om door te gaan. Hier, stel jejijgelijk aan de hoeveelheid in de noemer:
u = \sqrt{x - 3}
Los dit op voorXdoor beide zijden te kwadrateren en af te trekken:
u^2 = x - 3 \\ x = u^2 + 3
Hiermee kun je dx krijgen in termen vanjijdoor de afgeleide te nemen vanX:
dx = (2u) du
Terug substitueren in de oorspronkelijke integraal geeft
\begin{uitgelijnd} F(x) &= \int \frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u) du \\ &= \int \frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }du \\ &= \int (2u^2 + 8)du \end{uitgelijnd}
Nu kunt u dit integreren met behulp van de basisformule en uitdrukkenjijwat betreftX:
\begin{aligned} \int (2u^2 + 8)du &= \frac{2}{3}u^3 + 8u + C \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{x - 3})^3 + 8( \sqrt{x - 3}) + C \\ &= \frac{2}{3} (x - 3)^{(3/2)} + 8(x - 3) ^{(1/2)} + C \end{uitgelijnd}