Trigonometrie kan aanvoelen als een nogal abstract onderwerp. Geheimzinnige termen als "zonde" en "cos" lijken in de werkelijkheid gewoon nergens mee overeen te komen, en het is moeilijk om ze als concepten te begrijpen. De eenheidscirkel helpt hierbij aanzienlijk en biedt een eenvoudige uitleg van wat de getallen zijn die je krijgt als je de sinus, cosinus of tangens van een hoek neemt. Voor alle studenten wetenschappen of wiskunde kan het begrijpen van de eenheidscirkel uw begrip van trigonometrie en het gebruik van de functies echt versterken.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een eenheidscirkel heeft een straal van één. Stel je eens voorxycoördinatenstelsel beginnend in het midden van deze cirkel. De punthoeken worden gemeten vanaf waarX= 1 enja= 0, aan de rechterkant van de cirkel. Hoeken nemen toe als je tegen de klok in beweegt.
Met behulp van dit raamwerk, enjavoor deja-coördineren enXvoor deX-coördinaat van het punt op de cirkel:
zondeθ = ja
omdatθ = X
En bijgevolg:
bruinenθ = ja / X
Wat is de eenheidscirkel?
Een cirkel "eenheid" heeft een straal van 1. Met andere woorden, de afstand van het middelpunt van de cirkel tot een willekeurig deel van de rand is altijd 1. De meeteenheid doet er niet echt toe, want het belangrijkste van de eenheidscirkel is dat het veel vergelijkingen en berekeningen veel eenvoudiger maakt.
Het dient ook als een nuttige basis om naar de definities van hoeken te kijken. Stel je voor dat het middelpunt van de cirkel zich in het midden van een coördinatensysteem bevindt met eenX-as loopt horizontaal en aja-as loopt verticaal. De cirkel kruist deX-as bijX = 1, ja= 0. Wetenschappers en wiskundigen bepalen de hoek vanaf dat punt tegen de klok in. dus het puntX =1, ja= 0 op de cirkel staat onder een hoek van 0°.
De definities van zonde en cos met de eenheidscirkel
De gewone definities van sin, co en tan die aan studenten worden gegeven, hebben betrekking op driehoeken. Ze stellen:
\sin θ = \frac{\text{tegenover}}{\text{hypotenuse}} \\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{aangrenzend}}{\text{hypotenuse}} \\ \, \\ \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
Het "tegengestelde" verwijst naar de lengte van de zijde van de driehoek tegenover de hoek, "aangrenzend" verwijst naar de lengte van de zijde naast de hoek en "hypotenusa" verwijst naar de lengte van de diagonale zijde van de driehoek.
Stel je voor dat je een driehoek maakt zodat de hypotenusa altijd de straal van de eenheidscirkel is, met één hoek aan de rand van de cirkel en één in het midden. Dit betekent dat hypotenusa = 1 in de bovenstaande vergelijkingen, dus de eerste twee worden:
\sin θ = \frac{\text{tegenover}}{1} = \text{tegenover}\\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{aangrenzend}}{1} = \text{aangrenzend} \\
Als je de hoek in kwestie die in het midden van de cirkel maakt, is het tegenovergestelde gewoon deja-coördinaat en de aangrenzende is gewoon deX-coördinaat van het punt op de cirkel dat de driehoek raakt. Met andere woorden, zonde geeft deja-coördinaat op de eenheidscirkel (met behulp van coördinaten die in het midden beginnen) voor een bepaalde hoek en cos geeft deX-coördineren. Dit is de reden waarom cos (0) = 1 en sin (0) = 0, want op dit punt zijn dat de coördinaten. Evenzo cos (90) = 0 en sin (90) = 1, omdat dit het punt is metX= 0 enja= 1. In vergelijkingsvorm:
\sin θ = y \\ \cos θ = x
Negatieve hoeken zijn op basis hiervan ook goed te begrijpen. De negatieve hoeken (met de klok mee gemeten vanaf het startpunt) hebben dezelfdeXcoördinaat als de corresponderende positieve hoek, dus:
\cos -θ = \cos θ
echter, deja-coördinaatschakelaars, wat betekent dat:
\sin -θ = -\sin θ
De definitie van bruin met de eenheidscirkel
De hierboven gegeven definitie van tan is:
\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
Maar met de eenheidscirkeldefinities van sin en cos, kun je zien dat dit equivalent is aan:
\tan θ = \frac{\text{tegenover}}{\text{aangrenzend}}
Of, denkend in termen van coördinaten:
\tan θ = \frac{y}{x}
Dit verklaart waarom tan ongedefinieerd is voor 90° of −270° en 270° of −90° (waarbijX= 0), omdat je niet door nul kunt delen.
Goniometrische functies weergeven
Het tekenen van sin of cos wordt gemakkelijker als je denkt aan de eenheidscirkel. DeX-coördinaat varieert soepel als je door de cirkel beweegt, beginnend bij 1 en afnemend tot een minimum van -1 op 180°, en dan op dezelfde manier toenemend. De sin-functie doet hetzelfde, maar neemt eerst toe tot een maximale waarde van 1 bij 90°, alvorens hetzelfde patroon te volgen. Er wordt gezegd dat de twee functies 90 ° uit "fase" met elkaar zijn.
Grafische kleuring vereist delenjadoorX, en is dus ingewikkelder om te tekenen, en heeft ook punten waar het niet gedefinieerd is.