Het beheersen van de concepten sinus en cosinus is een integraal onderdeel van trigonometrie. Maar als je deze ideeën eenmaal onder je riem hebt, worden ze de bouwstenen voor andere handige hulpmiddelen in trigonometrie en, later, calculus. De "wet van cosinus" is bijvoorbeeld een speciale formule die u kunt gebruiken om de ontbrekende zijde van een driehoek te vinden als u weet de lengte van de andere twee zijden plus de hoek ertussen, of om de hoeken van een driehoek te vinden als je ze alle drie kent kanten.
De wet van cosinus
De cosinusregel is er in verschillende versies, afhankelijk van met welke hoeken of zijden van de driehoek je te maken hebt:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc × \cos (A) \\ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac × \cos (B) \\ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab × \cos (C)
In ieder geval,een, benczijn de zijden van een driehoek, enEEN, B, ofCis de hoek tegenover de zijde van dezelfde letter. ZoEENis de hoek tegenoverliggende zijdeeen, Bis de hoek tegenoverliggende zijdeb, enCis de hoek tegenoverliggende zijde
De wet van cosinus kan ook worden herschreven in versies die het gemakkelijker maken om een van de drie hoeken van de driehoek te vinden, ervan uitgaande dat je de lengtes van alle drie de zijden van de driehoek kent:
cos (A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \\ \,\\ cos (B) = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{ 2ac} \\ \,\\ cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
Oplossen voor een kant
Om de cosinusregel te gebruiken om de zijde van een driehoek op te lossen, heb je drie stukjes informatie nodig: de lengtes van de andere twee zijden van de driehoek, plus de hoek ertussen. Kies de versie van de formule waarbij de zijde die u wilt vinden zich aan de linkerkant van de vergelijking bevindt en de informatie die u al heeft aan de rechterkant. Dus als je de lengte van de zijkant wilt vinden:een, zou je de versie gebruiken
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × \cos (A)
Vervang de waarden van de twee bekende zijden en de hoek ertussen in de formule. Als je driehoek bekende zijden heeftbencdie respectievelijk 5 eenheden en 6 eenheden meten, en de hoek ertussen is 60 graden (wat ook kan worden uitgedrukt in radialen als π/3), zou je hebben:
a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 × 5 × 6) × \cos (60)
Gebruik een tabel of je rekenmachine om de waarde van de cosinus op te zoeken; in dit geval cos (60) = 0,5, wat je de vergelijking geeft:
a^2 = 5^2 + 6^2 – (2 × 5 × 6) × 0,5
Vereenvoudig het resultaat van stap 2. Dit geeft je:
a^2 = 25 + 36 - 30
Wat op zijn beurt vereenvoudigt tot:
a^2 = 31
Neem de vierkantswortel van beide zijden om het oplossen van te voltooien vooreen. Dit laat je achter met:
a = \sqrt{31}
Hoewel je een grafiek of je rekenmachine zou kunnen gebruiken om de waarde van √ 31 te schatten (het is 5,568), wordt je vaak toegestaan – en zelfs aangemoedigd – om het antwoord in zijn meer precieze radicale vorm te laten.
Een hoek oplossen
U kunt hetzelfde proces toepassen om een van de hoeken van de driehoek te vinden als u alle drie de zijden kent. Deze keer kies je de versie van de formule die de ontbrekende of "weet niet"-hoek aan de linkerkant van het gelijkteken plaatst. Stel je voor dat je de maat van hoek C wilt vinden (die, onthoud, wordt gedefinieerd als de tegenoverliggende hoek)c). U zou deze versie van de formule gebruiken:
\cos (C) = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}
Vervang de bekende waarden - in dit soort problemen, dat wil zeggen de lengtes van alle drie de zijden van de driehoek - in de vergelijking. Laat als voorbeeld de zijden van je driehoek zijneen= 3 eenheden,b= 4 eenheden enc= 25 eenheden. Dus je vergelijking wordt:
\cos (C) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 × 3 × 4}
Zodra u de resulterende vergelijking vereenvoudigt, heeft u:
\cos (C) = \frac{0}{24}
of gewoon omdat (C) = 0.
Bereken de inverse cosinus of boogcosinus van 0, vaak genoteerd als cos-1(0). Of, met andere woorden, welke hoek heeft een cosinus van 0? Er zijn eigenlijk twee hoeken die deze waarde retourneren: 90 graden en 270 graden. Maar je weet per definitie dat elke hoek in een driehoek kleiner moet zijn dan 180 graden, dus dan blijft er maar 90 graden over als optie.
Dus de maat van je ontbrekende hoek is 90 graden, wat betekent dat je te maken hebt met een rechthoekige driehoek, hoewel deze methode ook werkt met niet-rechtse driehoeken.
