Een periodieke functie is een functie die zijn waarden met regelmatige tussenpozen of "perioden" herhaalt. Denken aan het is als een hartslag of het onderliggende ritme in een nummer: het herhaalt dezelfde activiteit op een constante beat. De grafiek van een periodieke functie ziet eruit alsof een enkel patroon keer op keer wordt herhaald.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een periodieke functie herhaalt zijn waarden met regelmatige tussenpozen of 'perioden'.
Soorten periodieke functies
De bekendste periodieke functies zijn trigonometrische functies: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans, enz. Andere voorbeelden van periodieke functies in de natuur zijn lichtgolven, geluidsgolven en fasen van de maan. Elk van deze, wanneer grafisch op het coördinatenvlak, maakt een herhalend patroon op hetzelfde interval, waardoor het gemakkelijk te voorspellen is.
De periode van een periodieke functie is het interval tussen twee "overeenkomende" punten op de grafiek. Met andere woorden, het is de afstand langs de
X-as die de functie moet afleggen voordat deze zijn patroon begint te herhalen. De basis sinus- en cosinusfuncties hebben een periode van 2π, terwijl de tangens een periode van heeft.Een andere manier om periode en herhaling voor trig-functies te begrijpen, is door erover na te denken in termen van de eenheidscirkel. Op de eenheidscirkel gaan waarden rond en rond de cirkel wanneer ze groter worden. Die repetitieve beweging is hetzelfde idee dat wordt weerspiegeld in het vaste patroon van een periodieke functie. En voor sinus en cosinus moet je een volledig pad rond de cirkel (2π) maken voordat de waarden beginnen te herhalen.
Vergelijking voor een periodieke functie
Een periodieke functie kan ook worden gedefinieerd als een vergelijking met deze vorm:
f (x + nP) = f (x)
WaarPis de periode (een constante die niet nul is) enneeis een positief geheel getal.
U kunt de sinusfunctie bijvoorbeeld op deze manier schrijven:
\sin (x + 2π) = \sin (x)
nee= 1 in dit geval, en de periode,P, want een sinusfunctie is 2π.
Test het door een paar waarden uit te proberen voorX, of kijk naar de grafiek: Kies een willekeurigX-waarde, verplaats dan 2π in beide richtingen langs deX-as; deja-waarde moet hetzelfde blijven.
Probeer het nu wanneernee = 2:
\sin (x + (2×2π)) = \sin (x) \\ \sin (x + 4π) = \sin (x)
Bereken voor verschillende waarden vanX: X = 0, X = π, X= π/2, of controleer het in de grafiek.
De cotangensfunctie volgt dezelfde regels, maar de periode is π radialen in plaats van 2π radialen, dus de grafiek en de vergelijking zien er als volgt uit:
\kinderbed (x + nπ) = \kinderbed (x)
Merk op dat tangens- en cotangensfuncties periodiek zijn, maar niet continu: er zijn "onderbrekingen" in hun grafieken.