Wat gebeurt er als je een getal tot een breuk verheft?

Wanneer je 'een getal tot een macht verheft', vermenigvuldig je het getal met zichzelf, en de 'macht' geeft aan hoe vaak je dat doet. Dus 2 verheven tot de derde macht is hetzelfde als 2 x 2 x 2, wat gelijk is aan 8. Wanneer je echter een getal tot een breuk verheft, ga je in de tegenovergestelde richting - je probeert de "wortel" van het getal te vinden.

De wiskundige term voor het verheffen van een getal tot een macht is 'exponentiatie'. Een exponentiële uitdrukking bestaat uit twee delen: het grondtal, dat is het getal dat u verhoogt, en de exponent, wat de "macht" is. Dus als je 2 verheft tot de derde macht, is het grondtal 2 en de exponent is 3. Het verhogen van de basis tot de 2e macht wordt gewoonlijk het kwadrateren van de basis genoemd, terwijl het verhogen tot de 3e macht gewoonlijk de basis in blokjes wordt genoemd. Wiskundigen schrijven exponentiële uitdrukkingen gewoonlijk met de exponent in superscript -- dat wil zeggen, als een klein getal rechtsboven in het grondtal. Omdat sommige computers, rekenmachines en andere apparaten niet goed overweg kunnen met superscript, worden exponentiële uitdrukkingen ook vaak als volgt geschreven: 2^3. Het caret - het naar boven wijzende symbool - vertelt je dat wat volgt de exponent is.

In wiskunde lijken "wortels" een beetje op omgekeerde exponenten. Neem bijvoorbeeld "2 tot de 4e macht", afgekort als 2^4. Dat is gelijk aan 2 x 2 x 2 x 2 of 16. Aangezien 2 vermenigvuldigd met zichzelf vier keer gelijk is aan 16, is de "4e wortel" van 16 2. Kijk nu naar het nummer 729. Dat valt uiteen in 9 x 9 x 9 -- dus 9 is de derde wortel van 729. Het valt ook uiteen in 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 -- dus 3 is de 6e wortel van 729. De 2e wortel van een getal wordt gewoonlijk de. genoemd vierkantswortel, en de 3e wortel is de kubuswortel.

Als de exponent een breuk is, zoek je naar een wortel van het grondtal. De wortel komt overeen met de noemer van de breuk. Neem bijvoorbeeld "125 verhoogd tot de 1/3 macht", of 125^1/3. De noemer van de breuk is 3, dus je zoekt naar de derde wortel (of derdemachtswortel) van 125. Omdat 5 x 5 x 5 = 125, is de 3e wortel van 125 5. Dus 125 ^ 1/3 = 5. Probeer nu 256^1/4. Je zoekt naar de 4e wortel van 256. Aangezien 4 x 4 x 4 x 4 = 256, is het antwoord 4.

De fractionele exponenten tot nu toe besproken -- 1/3 en 1/4 -- hebben elk een teller van 1. Als de teller iets anders is dan 1, geeft de exponent je eigenlijk de opdracht om twee bewerkingen uit te voeren: een wortel vinden en tot een macht verheffen. Neem bijvoorbeeld 8 ^ 2/3. De noemer "3" geeft aan dat je op zoek bent naar een derdemachtswortel; de teller "2" vertelt je dat je tot de 2e macht zult verheffen. Het maakt niet uit welke bewerking u als eerste uitvoert. Je krijgt hoe dan ook hetzelfde resultaat. Dus je zou kunnen beginnen door de 3e wortel van 8 te nemen, wat 2 is, en dat dan te verhogen tot de 2e macht, wat je 4 zou geven. Of je kunt beginnen door 8 te verhogen tot de 2e macht, wat gelijk is aan 64, en dan de 3e wortel van dat getal te nemen, dat is 4. Zelfde resultaat.

In feite is de regel van "teller als macht, noemer als wortel" van toepassing op alle exponenten - zelfs exponenten met hele getallen en fractionele exponenten met een teller van 1. Het gehele getal 2 is bijvoorbeeld het equivalent van de breuk 2/1. Dus de exponentiële uitdrukking 9^2 is "echt" 9^2/1. Als je 9 verheft tot de 2e macht, krijg je 81. Nu moet je de "1e wortel" van 81 krijgen. Maar de eerste wortel van elk getal is het getal zelf, dus het antwoord blijft 81. Kijk nu naar de uitdrukking 9 ^ 1/2. Je zou kunnen beginnen door 9 te verhogen tot de "1e macht". Maar elk getal tot de 1e macht is het getal zelf. Dus alles wat je hoeft te doen is de vierkantswortel van 9 te krijgen, wat 3 is. De regel is nog steeds van toepassing, maar in deze situaties kunt u een stap overslaan.