Hoe weet je dat een getal rationeel is?

Een rationaal getal is, zoals de naam al aangeeft, elk getal dat kan worden uitgedrukt als een verhouding of breuk. Het getal 6 is een rationeel getal omdat het kan worden uitgedrukt als 6/1, hoewel dit ongebruikelijk zou zijn. 4.5 is een rationaal getal, omdat het kan worden weergegeven als 9/2.

Veel belangrijke getallen in de wiskunde zijn echter irrationeel en kunnen niet als verhoudingen worden geschreven. Deze omvatten pi, of π, wat de verhouding is van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter en gelijk is aan 3,141592654...; en de vierkantswortel van 5, gelijk aan 2.236067977... De volgpunten geven een oneindige, niet-herhalende reeks cijfers aan rechts van de komma aan.

Er zijn een aantal methoden om te bepalen of een getal rationaal is.

Elk getal dat kan worden geschreven als een breuk of een verhouding is een rationaal getal. Het product van twee willekeurige getallen is daarom een ​​rationaal getal, omdat het ook als een breuk kan worden uitgedrukt. 5/7 en 13/120 zijn bijvoorbeeld beide rationale getallen en hun product, 65/840, is ook een rationaal getal. (65/140 reduceert tot 13/28, maar dit is niet essentieel voor de huidige doeleinden.)

Dit is minder triviaal dan het lijkt, omdat het gemakkelijk is om te vergeten dat hele getallen (... −3, −2, −1, 0, 1, 2, enzovoort) kunnen worden geschreven als breuken met een noemer van 1, bijvoorbeeld −3/1, −2/1, enzovoort.

Belangrijk is dat sommige getallen die een oneindige reeks getallen rechts van een decimaalteken bevatten rationaal zijn; de sleutel is dat dit een herhalende reeks moet bevatten. Bijvoorbeeld

Het herhalende segment wordt vaak aangeduid door een balk boven het herhalende gedeelte:

De meeste getallen die worden uitgedrukt als vierkantswortels zijn irrationele getallen. De uitzonderingen zijn zogenaamde perfecte vierkanten, dit zijn de vierkanten van gehele getallen (0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, enz.).