In wiskunde en meetkunde is een van de vaardigheden die de experts onderscheiden van de pretenders de kennis van trucs en snelkoppelingen. De tijd die u besteedt aan het leren ervan, betaalt zich terug in de tijd die u bespaart bij het oplossen van problemen. Het is bijvoorbeeld de moeite waard om twee speciale rechthoekige driehoeken te kennen die, als je ze eenmaal herkent, in een handomdraai op te lossen zijn. De twee driehoeken in het bijzonder zijn de 30-60-90 en de 45-45-90.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Twee speciale rechthoekige driehoeken hebben interne hoeken van 30, 60 en 90 graden en 45, 45 en 90 graden.
Over rechthoekige driehoeken
Driehoeken zijn driezijdige veelhoeken waarvan de interne hoeken oplopen tot 180 graden. De rechthoekige driehoek is een speciaal geval waarin een van de hoeken 90 graden is, dus de andere twee hoeken moeten per definitie optellen tot 90. De sinus, cosinus, tangens en andere trigonometrische functies bieden manieren om de interne hoeken van rechthoekige driehoeken te berekenen, evenals de lengte van hun zijden. Een ander onmisbaar rekenhulpmiddel voor rechthoekige driehoeken is de stelling van Pythagoras, die stelt: dat het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere twee kanten, of
c^2 = a^2 + b^2
Speciale rechthoekige driehoeken oplossen
Wanneer u aan een probleem met een rechthoekige driehoek werkt, krijgt u meestal ten minste één hoek en één zijde en wordt u gevraagd de resterende hoeken en zijden te berekenen. Met behulp van de bovenstaande formule van Pythagoras kunt u de lengte van elke zijde berekenen als u de andere twee krijgt. Een groot voordeel van de speciale rechthoekige driehoeken is dat de verhoudingen van de lengtes van hun zijden altijd hetzelfde zijn, dus je kunt de lengte van alle zijden vinden als je er maar één krijgt. Als je maar één zijde krijgt en de driehoek is speciaal, kun je ook de waarden van de hoeken vinden.
De 30-60-90 Driehoek
Zoals de naam al aangeeft, heeft de rechthoekige driehoek 30-60-90 interne hoeken van 30, 60 en 90 graden. Als gevolg hiervan vallen de zijden van deze driehoek in de verhoudingen 1: 2: √3, waarbij 1 en √3 de lengtes zijn van de tegenoverliggende en aangrenzende zijden en 2 de hypotenusa is. Deze getallen gaan altijd samen: als je de zijden van een rechthoekige driehoek oplost en vindt dat ze in het patroon 1, 2, √3 passen, weet je dat de hoeken 30, 60 en 90 graden zijn. Evenzo, als je een van de hoeken als 30 krijgt, weet je dat de andere twee 60 en 90 zijn, en ook dat de zijkanten de verhoudingen hebben, 1: 2: √3.
De 45-45-90 Driehoek
De driehoek van 45-45-90 werkt net als de 30-60-90, behalve dat twee hoeken gelijk zijn, evenals de tegenoverliggende en aangrenzende zijden. Het heeft interne hoeken van 45, 45 en 90 graden. De verhoudingen van de zijden van de driehoek zijn 1: 1: √2, waarbij de verhouding van de hypotenusa √2 is. De andere twee zijden zijn even lang aan elkaar. Als je aan een rechthoekige driehoek werkt en een van de interne hoeken is 45 graden, dan weet je in een moment dat de resterende hoek ook 45 graden moet zijn, omdat de hele driehoek 180. moet zijn graden.
Driehoekige zijden en verhoudingen
Houd er bij het oplossen van de twee speciale rechthoekige driehoeken rekening mee dat het deproportiesvan de zijden die er toe doen, niet hun meting in absolute termen. Een driehoek heeft bijvoorbeeld zijden die 1 voet en 1 voet en √ 2 voet meten, dus u weet dat het een driehoek van 45-45-90 is en interne hoeken heeft van 45, 45 en 90 graden.
Maar wat doe je met een rechthoekige driehoek waarvan de zijden √17 voet en √17 voet meten? De verhoudingen van de zijkanten zijn de sleutel. Omdat de twee zijden identiek zijn, is de verhouding 1:1 met elkaar, en omdat het een rechthoekige driehoek is, is de verhouding van de hypotenusa 1:√2 met een van de andere zijden. De gelijke verhoudingen geven aan dat de zijden 1, 1, √ 2 zijn, wat alleen bij de speciale driehoek 45-45-90 hoort. Om de hypotenusa te vinden, vermenigvuldigt u √17 met √2 om √34 voet te krijgen.