Radicale fracties zijn geen kleine rebelse fracties die laat buiten blijven, drinkend en rokend. In plaats daarvan zijn het breuken die radicalen bevatten – meestal vierkantswortels wanneer je voor het eerst kennis maakt met de concept, maar later kun je ook kubuswortels, vierde wortels en dergelijke tegenkomen, die allemaal worden genoemd radicalen ook. Afhankelijk van wat je leraar precies van je vraagt, zijn er twee manieren om radicale breuken te vereenvoudigen: geheel, vereenvoudig het, of "rationaliseer" de breuk, wat betekent dat je het radicaal uit de noemer verwijdert, maar mogelijk nog steeds een radicaal in de teller.
Radicale uitdrukkingen van een breuk annuleren
Overweeg je eerste optie, waarbij je de radicaal uit de breuk haalt. Er zijn eigenlijk twee manieren om dit te doen. Als dezelfde radicaal bestaat in alle termen in zowel de boven- als onderkant van de breuk, kunt u de radicale uitdrukking eenvoudigweg weglaten en annuleren. Als u bijvoorbeeld:
(2√3) / (3√3_)_
Je kunt beide radicalen weglaten, omdat ze in elke term in de teller en noemer aanwezig zijn. Dat laat je met:
√3/√3 × 2/3
En omdat elke breuk met exact dezelfde niet-nulwaarden in teller en noemer gelijk is aan één, kun je dit herschrijven als:
1 × 2/3
Of gewoon 2/3.
De radicale uitdrukking vereenvoudigen
Soms krijg je te maken met een radicale uitdrukking die geen beknopt antwoord heeft, zoals √3 uit het vorige voorbeeld. In dat geval zult u de radicale term gewoonlijk behouden zoals deze is, met behulp van basisbewerkingen zoals factoring of annuleren om deze te verwijderen of te isoleren. Maar soms is er een duidelijk antwoord. Beschouw de volgende breuk:
(√4)/(√9)
In dit geval, als u uw vierkantswortels kent, kunt u zien dat beide radicalen in feite bekende gehele getallen vertegenwoordigen. De vierkantswortel van 4 is 2 en de vierkantswortel van 9 is 3. Dus als je bekende vierkantswortels ziet, kun je de breuk gewoon herschrijven in hun vereenvoudigde, integere vorm. In dit geval zou je hebben:
2/3
Dit werkt ook met kubuswortels en andere radicalen. De derdemachtswortel van 8 is bijvoorbeeld 2 en de derdemachtswortel van 125 is 5. Dus als je tegenkomt:
(3√8) / (3√125)
Je zou, met een beetje oefening, meteen kunnen zien dat het veel eenvoudiger en gemakkelijker te hanteren is:
2/5
De noemer rationaliseren
Vaak laten leraren je radicale uitdrukkingen in de teller van je breuk houden; maar net als het getal nul veroorzaken radicalen problemen wanneer ze in de noemer of het onderste getal van de breuk voorkomen. Dus de laatste manier waarop je gevraagd kan worden om radicale breuken te vereenvoudigen, is een operatie genaamd rationaliseren, wat gewoon betekent dat je de radicale breuken uit de noemer haalt. Vaak betekent dat dat de radicale uitdrukking in plaats daarvan in de teller verschijnt.
Overweeg de breuk
4/_√_5
Je kunt _√_5 niet gemakkelijk vereenvoudigen tot een geheel getal, en zelfs als je het uitsluit, heb je nog steeds een breuk met een radicaal in de noemer, als volgt:
1/_√_5 × 4/1
Dus geen van de reeds besproken methoden zal werken. Maar als u zich de eigenschappen van breuken herinnert, is een breuk met een willekeurig getal dat niet nul is, zowel bovenaan als onderaan gelijk aan 1. Je zou dus kunnen schrijven:
√_5/√_5 = 1
En omdat je al het andere 1 keer kunt vermenigvuldigen zonder de waarde van dat andere ding te veranderen, kun je ook het volgende schrijven zonder de waarde van de breuk daadwerkelijk te veranderen:
√_5/√5 × 4/√_5
Zodra je je vermenigvuldigt, gebeurt er iets speciaals. De teller wordt 4_√_5, wat acceptabel is omdat je doel simpelweg was om de radicaal uit de noemer te halen. Als het in de teller staat, kun je ermee omgaan.
Ondertussen wordt de noemer √_5 × √5 of (√_5)2. En omdat een vierkantswortel en een vierkant elkaar opheffen, vereenvoudigt dat tot gewoon 5. Dus je breuk is nu:
4_√_5/5, wat als een rationele breuk wordt beschouwd omdat er geen radicaal in de noemer zit.