Hoewel de Engelse woorden "reeks" en "serie" dezelfde betekenis hebben, zijn het in de wiskunde totaal verschillende concepten. Een reeks is een lijst met getallen die in een bepaalde volgorde zijn geplaatst, terwijl een reeks de som is van zo'n lijst met getallen. Er zijn veel soorten reeksen, waaronder reeksen die zijn gebaseerd op oneindige lijsten met getallen. Verschillende reeksen en de bijbehorende reeksen hebben verschillende eigenschappen en kunnen verrassende resultaten opleveren.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Reeksen zijn lijsten met getallen die in een bepaalde volgorde zijn geplaatst volgens bepaalde regels. De reeks die overeenkomt met een reeks is de som van de getallen in die reeks. Reeksen kunnen rekenkundig zijn, wat betekent dat er een vast verschil is tussen de getallen van de reeks, of geometrisch, wat betekent dat er een vaste factor is. Oneindige reeksen hebben geen eindgetal, maar kunnen onder bepaalde voorwaarden toch een vast bedrag hebben.
Soorten reeksen en series
Veel voorkomende reeksen zijn rekenkundig of geometrisch. In een rekenkundige reeks verschilt elk getal of elke term van de reeks met dezelfde hoeveelheid van de vorige term. Als het verschil in een rekenkundige rij bijvoorbeeld 2 is, kan een overeenkomstige rekenkundige rij 1, 3, 5 zijn... Als het verschil -3 is, kan een reeks 4, 1, -2 zijn... De rekenkundige reeks wordt bepaald door het startnummer en het verschil.
Voor geometrische reeksen verschillen de termen met een factor. Een reeks met een factor 2 kan bijvoorbeeld 2, 4, 8 zijn... en een rij met een factor 0,75 kan 32, 24, 18 zijn... De geometrische reeks wordt bepaald door het startnummer en de factor.
De serietypen zijn afhankelijk van de volgorde die wordt toegevoegd. Een rekenkundige reeks voegt de termen van een rekenkundige reeks toe, en een geometrische reeks voegt een geometrische reeks toe.
Eindige en oneindige reeksen en series
Reeksen en de bijbehorende reeksen kunnen gebaseerd zijn op een vast aantal termen of een oneindig aantal. Een eindige reeks heeft een startgetal, een verschil of factor en een vast totaal aantal termen. De eerste rekenkundige reeks hierboven met acht termen zou bijvoorbeeld 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 zijn. De eerste geometrische reeks hierboven met zes termen zou 2, 4, 8, 16, 32, 64 zijn. De bijbehorende rekenkundige reeks zou een waarde hebben van 64 en de meetkundige reeks 126. Oneindige reeksen hebben geen vast aantal termen, en hun termen kunnen groeien tot oneindig, afnemen tot nul of een vaste waarde benaderen. De bijbehorende reeks kan ook een oneindig, nul of vast resultaat hebben.
Convergente en divergente reeksen
Oneindige reeksen zijn divergent als de som oneindig nadert naarmate het aantal termen toeneemt. Een oneindige reeks is convergent als de som een niet-oneindige waarde nadert, zoals nul of een ander vast getal. Reeksen convergeren als de termen van de onderliggende reeks snel nul naderen.
De reeks voegt de termen van de oneindige rij 1, 2, 4 toe... divergent is omdat de termen van de reeks blijven groeien, waardoor de som een oneindige waarde kan bereiken naarmate het aantal termen toeneemt. De reeks 1, 0,5, 0,25... is convergent omdat de termen snel erg klein worden.
Hoewel reeksen geordende lijsten met getallen zijn en reeksen sommen, kunnen beide belangrijke hulpmiddelen zijn bij het evalueren van reeksen getallen, en de eigenschappen van convergentie of divergentie kunnen het echte leven hebben implicaties. Een divergente reeks vertegenwoordigt vaak een onstabiele toestand, terwijl een convergente reeks vaak betekent dat een proces of structuur stabiel zal zijn.