Soms is brute kracht de enige manier om door wiskundige berekeningen te komen. Maar af en toe kunt u veel werk besparen door speciale problemen te herkennen die u met een gestandaardiseerde formule kunt oplossen. Het vinden van de som van kubussen en het vinden van het verschil van kubussen zijn twee voorbeelden van precies dat: als je eenmaal de formules voor factoring kenteen3 + b3 ofeen3 - b3, is het vinden van het antwoord net zo eenvoudig als het vervangen van de waarden voor a en b in de juiste formule.
Het in context plaatsen
Kijk eerst even waarom u de sommen of het verschil van kubussen zou willen vinden - of beter gezegd "factor". Wanneer het concept voor het eerst wordt geïntroduceerd, is het op zich een eenvoudig wiskundig probleem. Maar als je wiskunde blijft studeren, wordt dit later een tussenstap in complexere berekeningen. Dus als je krijgteen3 + b3 ofeen3 − b3 als antwoord tijdens andere berekeningen, kun je de vaardigheden die je gaat leren gebruiken om die kubussen te breken getallen uit elkaar in eenvoudigere componenten, wat het vaak gemakkelijker maakt om door te gaan met het oplossen van het origineel probleem.
Factoring van de som van kubussen
Stel je voor dat je bij de binomiaal bent aangekomen
x^3 + 27
en wordt gevraagd om het te vereenvoudigen. De eerste termijn,X3, is duidelijk een getal in blokjes. Na wat onderzoek kun je zien dat het tweede getal eigenlijk ook een getal in kubussen is: 27 is hetzelfde als 33. Nu je weet dat beide getallen kubussen zijn, kun je de formule toepassen voor de som van kubussen.
Schrijf beide getallen op in hun kubusvorm, als dat nog niet het geval is. Om door te gaan met dit voorbeeld, heb je:
x^3 + 27 = x^3 + 3^3
Als u eenmaal gewend bent aan het proces, kunt u deze stap overslaan en direct doorgaan met het invullen van de waarden uit stap 1 in de formule. Maar vooral als je aan het leren bent, is het het beste om stap voor stap te gaan en jezelf te herinneren aan de formule:
a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
Vergelijk de linkerkant van deze vergelijking met het resultaat van stap 1. Merk op dat je kunt vervangenXin plaats vaneen,en 3 in plaats vanb.
Vervang de waarden uit stap 1 in de formule in stap 2. Dus jij hebt:
x^3 + 3^3 = (x + 3) (x^2 - 3x + 3^2)
Voor nu vertegenwoordigt het aankomen aan de rechterkant van de vergelijking uw antwoord. Dit is het resultaat van het ontbinden van de som van twee gekubeerde getallen.
Het verschil van kubussen in rekening brengen
Factoring van het verschil van twee gekubeerde getallen werkt op dezelfde manier. In feite is de formule bijna identiek aan de formule voor de som van kubussen. Maar er is één cruciaal verschil: let vooral op waar het minteken komt.
Stel je voor dat je het probleem krijgt
^3 - 125
en moet er rekening mee houden. Zoals eerder,ja3 is een voor de hand liggende kubus, en met een beetje nadenken zou je moeten kunnen herkennen dat 125 eigenlijk 5. is3. Dus jij hebt:
y^3 - 125 = y^3 - 5^3
Schrijf zoals eerder de formule op voor het verschil van kubussen. Merk op dat je kunt vervangenjavooreenen 5 voorb, en let speciaal op waar het minteken in deze formule komt. De locatie van het minteken is het enige verschil tussen deze formule en de formule voor de som van kubussen.
a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
Schrijf de formule opnieuw op, maar vervang deze keer de waarden uit stap 1. Dit levert:
y^3 - 5^3 = (y - 5)(y^2 + 5y + 5^2)
Nogmaals, als u alleen het verschil van de kubussen hoeft te berekenen, is dit uw antwoord.