Het vinden van de grootste gemene deler, of GCF, van twee getallen is handig in veel wiskundige situaties, maar vooral als het gaat om het vereenvoudigen van breuken. Als je hiermee worstelt of gemeenschappelijke noemers vindt, zal het leren van twee methoden voor het vinden van gemeenschappelijke factoren je helpen te bereiken wat je van plan bent te doen. Maar eerst is het een goed idee om meer te weten te komen over de basis van factoren; dan kun je twee benaderingen bekijken om gemeenschappelijke factoren te vinden. Ten slotte kunt u kijken hoe u uw kennis kunt toepassen om een breuk te vereenvoudigen.
Wat is een factor?
Factoren zijn de getallen die je met elkaar vermenigvuldigt om een ander getal te produceren. 2 en 3 zijn bijvoorbeeld factoren van 6, omdat 2 × 3 = 6. Evenzo zijn 3 en 3 factoren van 9, omdat 3 × 3 = 9. Zoals u wellicht weet, zijn priemgetallen getallen die geen andere factoren hebben dan zichzelf en 1. Dus 3 is een priemgetal, omdat de enige twee gehele getallen (gehele getallen) die zich met elkaar kunnen vermenigvuldigen om 3 als antwoord te geven, 3 en 1 zijn. Op dezelfde manier is 7 een priemgetal, en 13 ook.
Daarom is het vaak handig om een getal op te splitsen in 'primaire factoren'. Dit betekent het vinden van alle priemgetalfactoren van een ander getal. Het verdeelt het getal in feite in zijn fundamentele 'bouwstenen', wat een nuttige stap is in de richting van: het vinden van de grootste gemene deler van twee getallen en is ook van onschatbare waarde als het gaat om het vereenvoudigen van het kwadraat wortels.
De grootste gemeenschappelijke factor vinden: methode één
De eenvoudigste methode om de grootste gemene deler van twee getallen te vinden, is door simpelweg alle factoren van elk getal op te sommen en te zoeken naar het hoogste getal dat ze allebei delen. Stel je voor dat je de hoogste gemene deler van 45 en 60 wilt vinden. Kijk eerst naar de verschillende getallen die je met elkaar kunt vermenigvuldigen om 45 te krijgen.
De gemakkelijkste manier om te beginnen is met de twee waarvan je weet dat ze werken, zelfs voor een priemgetal. In dit geval weten we dat 1 × 45 = 45, dus we weten dat 1 en 45 factoren van 45 zijn. Dit zijn de eerste en laatste factor van 45, dus je kunt vanaf daar gewoon invullen. Ga vervolgens na of 2 een factor is. Dit is gemakkelijk, omdat elk even getal deelbaar is door 2 en elk oneven getal niet. We weten dus dat 2 geen factor 45 is. Hoe zit het met 3? Je zou moeten kunnen zien dat 3 een factor 45 is, want 3 × 15 = 45 (je kunt altijd voortbouwen op wat je weet om dit uit te werken, je weet bijvoorbeeld dat 3 × 12 = 36, en het toevoegen van drieën leidt je naar 45).
Is 4 een factor 45? Nee – je weet 11 × 4 = 44, dus dat kan niet zo zijn! Vervolgens, hoe zit het met 5? Dit is weer een makkelijke, want elk getal dat eindigt op 0 of 5 is deelbaar door 5. En hiermee kun je gemakkelijk zien dat 5 × 9 = 45. Maar 6 is niet goed want 7 × 6 = 42 en 8 × 6 = 48. Hieruit kun je ook zien dat 7 en 8 geen factoren van 45 zijn. We weten al dat 9 is, en het is gemakkelijk in te zien dat 10 en 11 geen factoren zijn. Ga door met dit proces en je zult zien dat 15 een factor is, maar niets anders is dat.
De factoren van 45 zijn dus: 1, 3, 5, 9, 15 en 45.
Voor 60 doorloop je exact hetzelfde proces. Deze keer is het getal even (je weet dus dat 2 een factor is) en deelbaar door 10 (dus 5 en 10 zijn beide factoren), wat het wat makkelijker maakt. Nadat je het proces opnieuw hebt doorlopen, zou je moeten zien dat de factoren van 60 zijn: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60.
Als we de twee lijsten vergelijken, blijkt dat 15 de grootste gemene deler is van 45 en 60. Deze methode kan tijdrovend zijn, maar het is eenvoudig en het zal altijd werken. Je kunt ook beginnen met elke hoge gemene deler die je meteen kunt zien, en dan gewoon zoeken naar hogere factoren van elk getal.
De grootste gemeenschappelijke factor vinden: methode twee
De tweede methode om de GCF voor twee getallen te vinden, is door priemfactoren te gebruiken. Het proces van ontbinden in priemfactoren is iets eenvoudiger en meer gestructureerd dan het vinden van elke factor. Laten we het proces voor 42 en 63 doornemen.
Het proces van ontbinden in priemfactoren houdt in feite in dat je het getal opsplitst totdat je alleen nog priemgetallen overhoudt. Het is het beste om te beginnen met het kleinste priemgetal (twee) en van daaruit te werken. Dus voor 42 is het gemakkelijk om te zien dat 2 × 21 = 42. Werk dan vanaf 21: Is 2 een factor? Nee. Is 3? Ja! 3 × 7 = 21, en 3 en 7 zijn beide priemgetallen. Dit betekent dat de priemfactoren van 42 2, 3 en 7 zijn. De eerste "pauze" gebruikte 2 om tot 21 te komen, en de tweede brak dit op in 3 en 7. Je kunt dit controleren door al je factoren met elkaar te vermenigvuldigen en te controleren of je het oorspronkelijke getal krijgt: 2 × 3 × 7 = 42.
Voor 63 is 2 geen factor, maar 3 wel, want 3 × 21 = 63. Nogmaals, 21 valt uiteen in 3 en 7 - beide prime - dus je kent de priemfactoren! Bij controle blijkt dat 3 × 3 × 7 = 63, zoals vereist.
Je vindt de hoogste gemene deler door te kijken welke priemfactoren de twee getallen gemeen hebben. In dit geval heeft 42 2, 3 en 7 en 63 heeft 3, 3 en 7. Ze hebben 3 en 7 gemeen. Om de hoogste gemene deler te vinden, vermenigvuldig je alle gemeenschappelijke priemfactoren met elkaar. In dit geval is 3 × 7 = 21, dus 21 is de grootste gemene deler van 42 en 63.
Ook het vorige voorbeeld is op deze manier sneller op te lossen. Omdat 45 deelbaar is door drie (3 × 15 = 45), en 15 ook deelbaar is door drie (3 × 5 = 15), zijn de priemfactoren van 45 3, 3 en 5. Voor 60 is het deelbaar door twee (2 × 30 = 60), 30 is ook deelbaar door twee (2 × 15 = 30), en dan heb je 15, waarvan we weten dat het drie en vijf als priemfactoren heeft, 2, 2, 3 en 5 verlaten. Als we de twee lijsten vergelijken, zijn drie en vijf de gemeenschappelijke priemfactoren, dus de grootste gemene deler is 3 × 5 = 15.
In het geval dat er drie of meer gemeenschappelijke priemfactoren zijn, vermenigvuldig je ze allemaal op dezelfde manier om de grootste gemene deler te vinden.
Breuken vereenvoudigen met gemeenschappelijke factoren
Als je een breuk zoals 32/96 te zien krijgt, kan het alle berekeningen die erop volgen erg ingewikkeld maken, tenzij je een manier kunt vinden om de breuk te vereenvoudigen. Als u de laagste gemene deler van 32 en 96 vindt, weet u door welk getal u beide moet delen om een eenvoudigere breuk te krijgen. In dit geval:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \text{So } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Voor 96 geeft het proces:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \text{So } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Het moet duidelijk zijn dat 25 = 32 is de hoogste gemene deler. Het delen van beide delen van de breuk door 32 geeft:
\frac{32}{96} = \frac{1}{3}
Het vinden van gemeenschappelijke noemers is een soortgelijk proces. Stel je voor dat je de breuken 15/45 en 40/60 moet optellen. Uit het eerste voorbeeld weten we dat 15 de hoogste gemene deler is van 45 en 60, dus we kunnen ze meteen uitdrukken als 5/15 en 10/15. Aangezien 3 × 5 = 15, en beide tellers ook deelbaar zijn door vijf, kunnen we beide delen van beide breuken delen door vijf om 1/3 en 2/3 te krijgen. Nu zijn ze veel gemakkelijker toe te voegen en dat te zien
\frac{15}{45} + \frac{40}{60} = 1