Een veelhoek is een gesloten tweedimensionale figuur met 3 of meer rechte (niet gebogen) zijden, en een 12-zijdige veelhoek staat bekend als een dodecagon. Een regelmatige twaalfhoek is er een met gelijke zijden en hoeken, en het is mogelijk om een formule af te leiden om de oppervlakte te berekenen. Een onregelmatige twaalfhoek heeft zijden van verschillende lengtes en verschillende hoeken. Een zespuntige ster is een voorbeeld. Er is geen gemakkelijke manier om het gebied van een onregelmatige 12-zijdige figuur te berekenen, tenzij je het toevallig in een grafiek hebt uitgezet en de coördinaten van elk van de hoekpunten kunt lezen. Zo niet, dan is de beste strategie om de figuur te verdelen in regelmatige vormen waarvoor je de oppervlakte kunt berekenen.
De oppervlakte van een regelmatige 12-zijdige veelhoek berekenen
Om de oppervlakte van een regelmatige twaalfhoek te berekenen, moet je het middelpunt vinden, en de beste manier om dat te doen is door er een cirkel omheen te schrijven die elk van zijn hoekpunten net raakt. Het middelpunt van de cirkel is het middelpunt van de twaalfhoek, en de afstand van het middelpunt van de figuur tot elk van zijn hoekpunten is gewoon de straal van de cirkel (
r). Elk van de 12 zijden van de figuur is even lang, dus geef dit aan metzo.Je hebt nog een meting nodig, en dat is de lengte van een loodrechte lijn getrokken van het middelpunt van elke zijde naar het midden van de 12-zijdige vorm. Deze regel staat bekend als het apothema. Geef de lengte aan metm. Het verdeelt elke sectie gevormd door de straallijnen in twee rechthoekige driehoeken. Je weet het nietm, maar je kunt het vinden met de stelling van Pythagoras.
De 12 straallijnen verdelen de cirkel die je rond de twaalfhoek hebt beschreven in 12 gelijke delen, dus in het midden van de figuur is de hoek die elke lijn maakt met de lijn ernaast 30 graden. Elk van de 12 secties gevormd door de straallijnen bestaat uit een paar rechthoekige driehoeken met hypotenusaren een hoek van 15 graden. De zijde grenzend aan de hoek ism, dus je kunt het vinden met r en de sinus van de hoek.
\sin (15) = \frac{m}{r} \, \text{ en los op voor }m \\ m = r × \sin (15)
Je kunt nu het gebied van elk van de gelijkbenige driehoeken vinden die zijn ingeschreven in de twaalfhoek, omdat je de lengte van de basis kent - die iszo– en de hoogte,m. De oppervlakte van elke driehoek is
\begin{uitgelijnd} \text{gebied} &= \frac{1}{2} × \text{ basis} × \text{ hoogte} \\ &= \frac{1}{2} × s × m \\ &= 1/2 × (s × r × \sin (15)) \end{uitgelijnd}
Er zijn 12 van dergelijke secties, dus vermenigvuldig met 12 om de totale oppervlakte van de normale 12-zijdige vorm te vinden:
\text{ Oppervlakte regelmatige twaalfhoek} = 6 × (s × r × \sin (15))
Het gebied van een onregelmatige twaalfhoek vinden
Er is geen formule om de oppervlakte van een onregelmatige twaalfhoek te vinden, omdat de lengtes van de zijden en de hoeken niet hetzelfde zijn. Het is zelfs moeilijk om het midden te lokaliseren. De beste strategie is om de figuur in regelmatige vormen te verdelen, de oppervlakte van elke vorm te berekenen en deze op te tellen.
Als de vorm in een grafiek is uitgezet en u de coördinaten van de hoekpunten kent, is er een formule die u kunt gebruiken om de oppervlakte te berekenen. Als elk punt (nee) wordt gedefinieerd door (Xnee, janee), en je gaat om de figuur heen, met de klok mee of tegen de klok in, om een reeks van 12 punten te krijgen, de oppervlakte is:
\text{Gebied} = \frac{| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3)+... + (x_{11}y_{12} - y_{11}x_{12}) +(x_{12}y_1 - y_{12}x_1)|}{2}