In de wiskunde wordt een tegenvoorbeeld gebruikt om een bewering te weerleggen. Als je wilt bewijzen dat een bewering waar is, moet je een bewijs schrijven om aan te tonen dat het altijd waar is; een voorbeeld geven is niet voldoende. Vergeleken met het schrijven van een bewijs is het schrijven van een tegenvoorbeeld veel eenvoudiger; als je wilt aantonen dat een stelling niet waar is, hoef je maar één voorbeeld te geven van een scenario waarin de stelling niet waar is. De meeste tegenvoorbeelden in de algebra omvatten numerieke manipulaties.
Twee klassen wiskunde
Proeflezen en het vinden van tegenvoorbeelden zijn twee van de belangrijkste klassen van wiskunde. De meeste wiskundigen richten zich op het schrijven van bewijzen om nieuwe stellingen en eigenschappen te ontwikkelen. Wanneer beweringen of vermoedens niet waar kunnen worden bewezen, weerleggen wiskundigen ze door tegenvoorbeelden te geven.
Tegenvoorbeelden zijn concreet
In plaats van variabelen en abstracte notaties te gebruiken, kunt u numerieke voorbeelden gebruiken om een argument te weerleggen. In de algebra hebben de meeste tegenvoorbeelden betrekking op manipulatie met verschillende positieve en negatieve of oneven en even getallen, extreme gevallen en speciale getallen zoals 0 en 1.
Eén tegenvoorbeeld is voldoende
De filosofie van het tegenvoorbeeld is dat als in één scenario de stelling niet waar is, de stelling onwaar is. Een niet-wiskundig voorbeeld is "Tom heeft nog nooit een leugen verteld." Om aan te tonen dat deze bewering waar is, moet u "bewijs" leveren dat Tom nog nooit een leugen heeft verteld door elke uitspraak die Tom ooit heeft gedaan te volgen. Om deze verklaring te weerleggen, hoeft u echter maar één leugen te tonen die Tom ooit heeft uitgesproken.
Beroemde tegenvoorbeelden
"Alle priemgetallen zijn oneven." Hoewel bijna alle priemgetallen, inclusief alle priemgetallen boven 3, oneven zijn, is "2" een priemgetal dat even is; deze verklaring is onjuist; "2" is het relevante tegenvoorbeeld.
"Aftrekken is commutatief." Zowel optellen als vermenigvuldigen zijn commutatief - ze kunnen in elke volgorde worden uitgevoerd. Dat wil zeggen, voor alle reële getallen a en b, a + b= b + a en a * b = b * a. Aftrekken is echter niet commutatief; een tegenvoorbeeld dat dit bewijst is: 3 - 5 is niet gelijk aan 5 - 3.
"Elke continue functie is differentieerbaar." De absolute functie |x| is continu voor alle positieve en negatieve getallen; maar het is niet differentieerbaar bij x = 0; sinds |x| een continue functie is, bewijst dit tegenvoorbeeld dat niet elke continue functie differentieerbaar is.