Vierkantswortels worden vaak gevonden in wiskundige en wetenschappelijke problemen, en elke student moet de basis van vierkantswortels oppikken om deze vragen aan te pakken. Vierkantswortels vragen "welk getal, wanneer vermenigvuldigd met zichzelf, het volgende resultaat geeft", en als zodanig vereist het uitwerken ervan dat je op een iets andere manier over getallen nadenkt. U kunt echter gemakkelijk de regels van vierkantswortels begrijpen en alle vragen beantwoorden die ermee te maken hebben, of ze nu directe berekening of alleen vereenvoudiging vereisen.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een vierkantswortel vraagt welk getal, vermenigvuldigd met zichzelf, het resultaat geeft na het √-symbool. Dus √9 = 3 en √16 = 4. Elke wortel heeft technisch gezien een positief en een negatief antwoord, maar in de meeste gevallen is het positieve antwoord het antwoord waarin u geïnteresseerd bent.
Je kunt vierkantswortels ontbinden net als gewone getallen, dus √ab = √een √b, of √6 = √2√3.
Wat is een vierkantswortel?
Vierkantswortels zijn het tegenovergestelde van het "kwadreren" van een getal, of het met zichzelf vermenigvuldigen. Drie kwadraat is bijvoorbeeld negen (32 = 9), dus de vierkantswortel van negen is drie. In symbolen is dit:
\sqrt{9} = 3
Het "√"-symbool vertelt je dat je de vierkantswortel van een getal moet nemen, en je kunt dit op de meeste rekenmachines vinden.
Onthoud dat elk nummer eigenlijk heefttweewortels. Drie vermenigvuldigd met drie is gelijk aan negen, maar min drie vermenigvuldigd met min drie is ook gelijk aan negen, dus
3^2 = (-3)^2 = 9 \text{ en } \sqrt{9} = ±3
waarbij de ± staat voor "plus of min". In veel gevallen kun je de negatieve vierkantswortels van getallen negeren, maar soms is het belangrijk om te onthouden dat elk getal twee wortels heeft.
Mogelijk wordt u gevraagd om de "kubuswortel" of "vierde wortel" van een getal te nemen. De derdemachtswortel is het getal dat, wanneer tweemaal met zichzelf vermenigvuldigd, gelijk is aan het oorspronkelijke getal. De vierde wortel is het getal dat drie keer vermenigvuldigd met zichzelf gelijk is aan het oorspronkelijke getal. Net als vierkantswortels zijn deze precies het tegenovergestelde van het nemen van de macht van getallen. Dus, 33 = 27, en dat betekent dat de derdemachtswortel van 27 3 is, of
\sqrt[3]{27} = 3
Het symbool "∛" vertegenwoordigt de derdemachtswortel van het getal dat erna komt. Wortels worden soms ook uitgedrukt als fractionele machten, dus
\sqrt{x} = x^{1/2} \text{ en } \sqrt[3]{x} = x^{1/3}
Vierkantswortels vereenvoudigen
Een van de meest uitdagende taken die u met vierkantswortels moet uitvoeren, is het vereenvoudigen van grote vierkantswortels, maar u hoeft alleen enkele eenvoudige regels te volgen om deze vragen aan te pakken. U kunt vierkantswortels op dezelfde manier ontbinden als gewone getallen. Dus bijvoorbeeld 6 = 2 × 3, dus
\sqrt{6} = \sqrt{2} × \sqrt{3}
Het vereenvoudigen van grotere wortels betekent stap voor stap de factorisatie uitvoeren en de definitie van een vierkantswortel onthouden. √132 is bijvoorbeeld een grote wortel en het kan moeilijk zijn om te zien wat te doen. Je kunt echter gemakkelijk zien dat het deelbaar is door 2, dus je kunt schrijven
\sqrt{132} = \sqrt{2} \sqrt{66}
66 is echter ook deelbaar door 2, dus je kunt schrijven:
\sqrt{2} \sqrt{66} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{33}
In dit geval geeft een vierkantswortel van een getal vermenigvuldigd met een andere vierkantswortel alleen het oorspronkelijke getal (vanwege de definitie van vierkantswortel), dus
\sqrt{132} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{33} = 2 \sqrt{33}
Kortom, u kunt vierkantswortels vereenvoudigen met behulp van de volgende regels:
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b} \\ \sqrt{a} × \sqrt{a} = een
Wat is de vierkantswortel van...
Met behulp van de bovenstaande definities en regels kun je de vierkantswortels van de meeste getallen vinden. Hier zijn enkele voorbeelden om te overwegen.
De vierkantswortel van 8
Dit kan niet direct worden gevonden omdat het niet de vierkantswortel van een geheel getal is. Het gebruik van de regels voor vereenvoudiging geeft echter:
\sqrt{8} = \sqrt{2} \sqrt{4} = 2 \sqrt{2}
De vierkantswortel van 4
Dit maakt gebruik van de eenvoudige vierkantswortel van 4, die √4 = 2 is. Het probleem kan precies worden opgelost met behulp van een rekenmachine, en =8 = 2,8284...
De vierkantswortel van 12
Probeer op dezelfde manier de vierkantswortel van 12 te berekenen. Splits de wortel in factoren, en kijk of je het weer in factoren kunt splitsen. Probeer dit als een oefenprobleem en bekijk dan de onderstaande oplossing:
\sqrt{12} = \sqrt{2} \sqrt{6} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}
Nogmaals, deze vereenvoudigde uitdrukking kan naar behoefte in problemen worden gebruikt of exact worden berekend met behulp van een rekenmachine. Een rekenmachine laat zien dat
\sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 3.4641….
De vierkantswortel van 20
De vierkantswortel van 20 kan op dezelfde manier worden gevonden:
\sqrt{20} = \sqrt{2} \sqrt{10} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{5}=2 \sqrt{5} = 4.4721….
De vierkantswortel van 32
Pak ten slotte de vierkantswortel van 32 aan met dezelfde aanpak:
\sqrt{32} = \sqrt{4} \sqrt{8}
Merk hier op dat we de vierkantswortel van 8 al hebben berekend als 2√2, en dat √4 = 2, dus:
\sqrt{32} = 2×2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} = 5.657...
Vierkantswortel van een negatief getal
Hoewel de definitie van een vierkantswortel betekent dat negatieve getallen geen vierkantswortel mogen hebben (omdat elk getal vermenigvuldigd is) geeft op zichzelf een positief getal als resultaat), kwamen wiskundigen ze tegen als onderdeel van problemen in de algebra en bedachten een oplossing. Het "denkbeeldige" getalikwordt gebruikt om "de vierkantswortel van min 1" te betekenen en alle andere negatieve wortels worden uitgedrukt als veelvouden vanik. Zo
\sqrt{-9} = \sqrt{9} × i = ±3i
Deze problemen zijn uitdagender, maar je kunt ze leren oplossen op basis van de definitie van:iken de standaardregels voor wortels.
Voorbeeldvragen en antwoorden
Test uw begrip van vierkantswortels door indien nodig te vereenvoudigen en vervolgens de volgende wortels te berekenen:
\sqrt{50} \\ \sqrt{36} \\ \sqrt{70} \\ \sqrt{24} \\ \sqrt{27}
Probeer deze op te lossen voordat u naar de onderstaande antwoorden kijkt:
\sqrt{50} = \sqrt{2} \sqrt{25} = 5 \sqrt{2} = 7.071 \\ \sqrt{36} = 6 \\ \sqrt{70} = \sqrt{7} \sqrt{ 10} = \sqrt{7} \sqrt{2} \sqrt{5} = 8.637 \\ \sqrt{24} = \sqrt{2} \sqrt{12} = \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{6} = 2 \sqrt{6} = 4.899 \\ \sqrt{27 } = \sqrt{3} \sqrt{9} = 3 \sqrt{3} = 5.196
