14 maart (3/14) is Pi-dag (om nog maar te zwijgen van de verjaardag van Albert Einstein), en het is zo'n belangrijke gebeurtenis geworden dat het in 2009 officieel werd erkend door het Amerikaanse Huis van Afgevaardigden.
Er zijn veel manieren om de gelegenheid te vieren, van de gemakkelijkste en leukste (een echte taart bakken, met het π-symbool bovenaan voor de goede orde) tot de meer wiskundige en interessante. Hier bij Wetenschap, zullen we nooit ontmoedigen je om een taart te maken, maar er zijn veel andere unieke activiteiten waar je van kunt genieten tijdens het bakken of nadat je een paar plakjes hebt gegeten.
Hoewel mensen al meer dan 4.000 jaar over pi weten, was het verkrijgen van steeds betere benaderingen voor de oneindig uitstrekkende decimalen historisch gezien een van de belangrijkste taken die wiskundigen op zich namen. Natuurlijk kom je nooit bij de 31 biljoen cijfers die momenteel bekend zijn, maar u kunt enkele unieke methoden gebruiken om een vrij dichte benadering van het beroemde getal te krijgen.
De rechthoekmethode
Deze aanpak is praktischer dan de andere op deze lijst, dus je hebt een kompas en potlood, een stuk papier of een kaart, een liniaal, een schaar en een gradenboog nodig. Teken eerst een cirkel op je stuk kaart, zorg ervoor dat je de straal kent. Verdeel de cirkel vervolgens in 12 gelijke sectoren (zoals pizzapunten) en kies een van deze om opnieuw in twee gelijke delen te verdelen om in totaal 13 sectoren te krijgen.
Knip de cirkel uit en knip de sectoren uit. Herschik de sectoren in de vorm van een rechthoek, met de rechte rand van de kleinere sectoren op een van beide korte rand, en het dunne uiteinde van een stuk netjes tussen de gebogen uiteinden van de twee aangrenzende stukken. De hoogte van de rechthoek is de straal van de cirkel en de breedte is de helft van de omtrek van de oorspronkelijke cirkel.
Aangezien omtrek = 2 × π × straal, hebben we:
\text{Breedte} = π × \text{straal}
En je kunt pi schatten met:
π=\frac{\text{breedte}}{\text{straal}}
Dus alles wat je hoeft te doen is de lange zijde van de rechthoek te meten en te delen door de straal om een benadering voor pi te krijgen.
De polygoonbenadering van Archimedes voor Pi
Archimedes gebruikte een eenvoudige maar krachtige methode om de waarde van pi te benaderen, in wezen rond een cirkel met twee polygonen, één net binnen en één net buiten de lijn van de cirkel. De omtrek van de cirkel moet tussen de omtrek van deze twee polygonen liggen, en op basis hiervan kun je pi uitrekenen. De benadering wordt steeds beter naarmate u meer zijden aan de polygonen toevoegt (zie bronnen voor een voorbeeld).
U kunt een van de twee methoden gebruiken om dit voor uzelf te doen. Het eenvoudigste is dat u de polygonen voor uzelf kunt tekenen en trigonometrie kunt gebruiken om de omtrek te vinden of letterlijk te meten, en vervolgens het resultaat te delen door 2_r_ (d.w.z. 2 keer de straal van de cirkel) om de grenzen voor pi te vinden (waarbij de binnenvorm het minimum geeft en de buitenste de maximaal.
U kunt ook een eenvoudige formule gebruiken op basis van een cirkel met een diameter van 1 (d.w.z. r = 1/2):
π = \sin \bigg(\frac{θ}{2}\bigg) n
Waar θ is de hoek in het midden van een van de driehoekige secties van de vorm, en nee is het aantal zijden. Dus als u een 20-zijdige veelhoek gebruikt, deelt u eenvoudig 360° (een volledige cirkel) door 20 om te vinden θ.
Buffon's naaldon
Een van de meest ingenieuze methoden voor het schatten van pi is de naald van Buffon, genoemd naar de Franse filosoof Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, die de benadering ontdekte. Pak een stuk papier en teken er een reeks evenwijdige lijnen op, met een afstand ertussen die we noemen we den laat dan veel stokjes op het stuk papier vallen. De sleutel tot deze aanpak is het gebruik van stokken met een lengte ik dat is minder dan de afstand tussen de lijnen, dus als je lucifers gebruikt, moet je ervoor zorgen dat je de lijnen scheidt met meer dan de lengte van een lucifer.
Je kunt pi schatten op basis van:
π = \frac{2ls}{cd}
waar ik en d zijn zoals hierboven gedefinieerd, zo is het totale aantal stokjes dat je op het papier hebt laten vallen, en c is het aantal stokjes dat een lijn kruist. Dit is een statistische benadering om het antwoord te vinden, dus hoe meer sticks je laat vallen, hoe beter de schatting die je krijgt. Het is eigenlijk een vorm van Monte Carlo-simulatie om de waarde van pi te vinden.
Als dit veel werk lijkt (en opruimen!), Is er een online versie die u kunt gebruiken om het experiment te simuleren (zie bronnen).