De kinematicavergelijkingen beschrijven de beweging van een object dat een constante versnelling ondergaat. Deze vergelijkingen relateren de variabelen tijd, positie, snelheid en versnelling van een bewegend object, waardoor een van deze variabelen kan worden opgelost als de andere bekend zijn.
Hieronder is een afbeelding van een object dat een constante versnellingsbeweging in één dimensie ondergaat. de variabele t is voor tijd, positie is X, snelheid v en versnelling een. De abonnementen ik en f staan respectievelijk voor "initiële" en "finale". Er wordt aangenomen dat t = 0 bij Xik en vik.
(Voeg afbeelding 1) in
Lijst met kinematische vergelijkingen
Er zijn hieronder drie primaire kinematische vergelijkingen die van toepassing zijn bij het werken in één dimensie. Deze vergelijkingen zijn:
\#\text{1: } v_f=v_i+at\\ \#\text{2: } x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2\\ \#\text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)
Opmerkingen over de kinematische vergelijkingen
- Deze vergelijkingen werken alleen met een constante versnelling (die bij constante snelheid nul kan zijn).
- Afhankelijk van de bron die u leest, hebben de uiteindelijke hoeveelheden mogelijk geen subscript f, en/of kan worden weergegeven in functienotatie als x (t) – lees “X als functie van de tijd” of “X op tijd t” – en v (t). Let daar op x (t) betekent niet X vermenigvuldigd met t!
-
Soms is de hoeveelheid Xf - xik is geschreven
x, wat betekent "de verandering in" X”, of zelfs gewoon als d, wat verplaatsing betekent. Alle zijn gelijkwaardig. Positie, snelheid en versnelling zijn vectorgrootheden, wat betekent dat ze een richting hebben. In één dimensie wordt richting meestal aangegeven door tekens - positieve grootheden zijn in de positieve richting en negatieve grootheden zijn in de negatieve richting. Subscripts: "0" kan worden gebruikt voor beginpositie en snelheid in plaats van ik. Deze "0" betekent "at t = 0," en X0 en v0 worden meestal uitgesproken als "x-naught" en "v-naught." * Slechts één van de vergelijkingen omvat geen tijd. Bij het uitschrijven van gegevens en het bepalen welke vergelijking te gebruiken, is dit de sleutel!
Een speciaal geval: vrije val
Vrijevalbeweging is de beweging van een object dat alleen door de zwaartekracht versnelt in afwezigheid van luchtweerstand. Dezelfde kinematische vergelijkingen zijn van toepassing; de versnellingswaarde nabij het aardoppervlak is echter bekend. De grootte van deze versnelling wordt vaak weergegeven door g, waarbij g = 9,8 m/s2. De richting van deze versnelling is naar beneden, naar het aardoppervlak. (Merk op dat sommige bronnen bij benadering kunnen zijn) g als 10 m/s2, en anderen kunnen een waarde gebruiken die tot op meer dan twee decimalen nauwkeurig is.)
Probleemoplossende strategie voor kinematicaproblemen in één dimensie:
Maak een schets van de situatie en kies een geschikt coördinatensysteem. (Herhaal dat X, v en een zijn allemaal vectorgrootheden, dus door een duidelijke positieve richting toe te wijzen, wordt het gemakkelijker om tekens bij te houden.)
Maak een lijst met bekende hoeveelheden. (Pas op dat soms de bekende dingen niet duidelijk zijn. Zoek naar zinnen als 'begint vanuit rust', wat betekent dat: vik = 0, of "de grond raakt", wat betekent dat Xf = 0, enzovoort.)
Bepaal welke hoeveelheid de vraag wil dat je vindt. Wat is het onbekende waarvoor je gaat oplossen?
Kies de juiste kinematische vergelijking. Dit is de vergelijking die uw onbekende hoeveelheid bevat samen met bekende hoeveelheden.
Los de vergelijking op voor de onbekende hoeveelheid, vul dan bekende waarden in en bereken het uiteindelijke antwoord. (Wees voorzichtig met eenheden! Soms moet u eenheden converteren voordat u gaat berekenen.)
Voorbeelden van eendimensionale kinematica
Voorbeeld 1: Een advertentie beweert dat een sportwagen in 2,7 seconden van 0 naar 60 mph kan gaan. Wat is de versnelling van deze auto in m/s2? Hoe ver legt hij af tijdens deze 2,7 seconden?
Oplossing:
(Voeg afbeelding 2) in
Bekende en onbekende hoeveelheden:
v_i=0\text{ mph}\\ v_f=60\text{ mph}\\ t=2.7\text{ s}\\ x_i=0\\ a=\text{?}\\ x_f=\text{? }
Het eerste deel van de vraag vereist een oplossing voor de onbekende versnelling. Hier kunnen we vergelijking #1 gebruiken:
v_f=v_i+at\impliceert a =\frac {(v_f-v_i)} t
Voordat we getallen inpluggen, moeten we echter 60 mph naar m/s converteren:
60\cancel{\text{ mph}}\Bigg( \frac {0.477\text{ m/s}} {\cancel{\text{mph}}}\Bigg)=26.8\text{ m/s}
Dus de versnelling is dan:
a=\frac {(26.8-0)} {2.7}=\onderstrepen{\bold{9.93}\text{ m/s}^2}
Om uit te vinden hoe ver het in die tijd gaat, kunnen we vergelijking #2 gebruiken:
x_f=x_i+v_it+\frac 1 2 at^2=\frac 1 2 \times 9.93 \times 2.7^2=\underline{\bold{36.2}\text{ m}}
Voorbeeld 2: Een bal wordt opgeworpen met een snelheid van 15 m/s vanaf een hoogte van 1,5 m. Hoe snel gaat het als het de grond raakt? Hoe lang duurt het om de grond te raken?
Oplossing:
(Voeg afbeelding 3 in)
Bekende en onbekende hoeveelheden:
x_i=1.5\text{ m}\\x_f=0\text{ m}\\v_i=15\text{ m/s}\\a=-9.8\text{ m/s}^2\\v_f=? \\t=?
Om het eerste deel op te lossen, kunnen we vergelijking #3 gebruiken:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a (x_f-x_i)\implies v_f=\pm \sqrt{(v_i)^2+2a (x_f-x_i)}
Alles is al in consistente eenheden, dus we kunnen waarden inpluggen:
v_f=\pm \sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=\pm\sqrt{254.4}\circa\pm16\text{ m/s}
Er zijn hier twee oplossingen. Welke is juist? Uit ons diagram kunnen we zien dat de eindsnelheid negatief moet zijn. Het antwoord is dus:
v_f=\underline{\bold{-16}\text{ m/s}}
Om tijd op te lossen, kunnen we vergelijking #1 of vergelijking #2 gebruiken. Omdat vergelijking #1 eenvoudiger is om mee te werken, zullen we die gebruiken:
v_f=v_i+at\implies t=\frac {(v_f-v_i)} {a}=\frac {(-16-15)}{-9.8}\circa \underline{\bold{3.2}\text{ s }}
Merk op dat het antwoord op het eerste deel van deze vraag niet 0 m/s was. Hoewel het waar is dat nadat de bal is geland, deze een snelheid van 0 heeft, wil deze vraag weten hoe snel hij gaat in die fractie van een seconde vóór de botsing. Zodra de bal contact maakt met de grond, zijn onze kinematische vergelijkingen niet langer van toepassing omdat de versnelling niet constant zal zijn.
Kinematische vergelijkingen voor projectielbeweging (twee dimensies)
Een projectiel is een object dat in twee dimensies beweegt onder invloed van de zwaartekracht van de aarde. Zijn pad is een parabool omdat de enige versnelling het gevolg is van de zwaartekracht. De kinematische vergelijkingen voor projectielbeweging nemen een iets andere vorm aan dan de hierboven vermelde kinematische vergelijkingen. We gebruiken het feit dat bewegingscomponenten die loodrecht op elkaar staan – zoals de horizontale X richting en de verticale ja richting – zijn onafhankelijk.
Probleemoplossende strategie voor problemen met projectielbewegingskinematica:
Maak een schets van de situatie. Net als bij eendimensionale beweging is het handig om het scenario te schetsen en het coördinatensysteem aan te geven. In plaats van de labels te gebruiken X, v en een voor positie, snelheid en versnelling hebben we een manier nodig om de beweging in elke dimensie afzonderlijk te labelen.
Voor de horizontale richting is het het meest gebruikelijk om te gebruiken X voor positie en vX voor de x-component van snelheid (merk op dat versnelling 0 is in deze richting, dus we hebben er geen variabele voor nodig.) ja richting, het is het meest gebruikelijk om te gebruiken: ja voor positie en vja voor de y-component van snelheid. Versnelling kan ofwel worden gelabeld eenja of we kunnen het feit gebruiken dat we weten dat de versnelling als gevolg van de zwaartekracht is g in de negatieve y-richting, en gebruik die in plaats daarvan.
Maak een lijst van bekende en onbekende grootheden door het probleem in twee delen te splitsen: verticale en horizontale beweging. Gebruik trigonometrie om de x- en y-componenten te vinden van vectorgrootheden die niet langs een as liggen. Het kan handig zijn om dit in twee kolommen op te sommen:
(tabel 1)
Opmerking: Als snelheid wordt gegeven als een grootte samen met een hoek, Ѳ, boven de horizontale, gebruik dan vectordecompositie, vX= vcos (Ѳ) en vja= vsin (Ѳ).
We kunnen onze drie kinematische vergelijkingen van tevoren bekijken en ze aanpassen aan respectievelijk de x- en y-richtingen.
X-richting:
x_f=x_i+v_xt
Y-richting:
v_{yf}=v_{yi}-gt\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g (y_f - y_i)
Merk op dat de versnelling in de ja richting is -g als we aannemen dat omhoog positief is. Een veel voorkomende misvatting is dat g = -9,8 m/s2, maar dit is onjuist; g zelf is gewoon de grootte van de versnelling: g = 9,8 m/s2, dus we moeten specificeren dat de versnelling negatief is.
Los een onbekende op in een van die dimensies en sluit vervolgens aan wat in beide richtingen gebruikelijk is. Hoewel de beweging in de twee dimensies onafhankelijk is, gebeurt deze op dezelfde tijdschaal, dus de tijdvariabele is in beide dimensies hetzelfde. (De tijd die de bal nodig heeft om zijn verticale beweging te ondergaan, is gelijk aan de hoeveelheid tijd die nodig is om zijn horizontale beweging te ondergaan.)
Voorbeelden van projectielbewegingskinematica
Voorbeeld 1: Een projectiel wordt horizontaal gelanceerd vanaf een klif van 20 m hoog met een beginsnelheid van 50 m/s. Hoe lang duurt het om de grond te raken? Hoe ver van de voet van de klif landt het?
(afbeelding invoegen 4)
Bekende en onbekende hoeveelheden:
(tabel 2)
We kunnen de tijd vinden die nodig is om de grond te raken door de tweede verticale bewegingsvergelijking te gebruiken:
y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2\implies t=\sqrt{\frac{(2\times 20)} g}=\underline{ \bold{2.02}\text{ s} }
Om vervolgens te vinden waar het landt, Xf, kunnen we de horizontale bewegingsvergelijking gebruiken:
x_f=x_i+v_xt=50\times2.02=\underline{\bold{101}\text{ s}}
Voorbeeld 2: Een bal wordt gelanceerd met een snelheid van 100 m/s vanaf de grond onder een hoek van 30 graden met de horizontaal. Waar landt het? Wanneer is de snelheid het kleinst? Wat is de locatie op dit moment?
(afbeelding 5 invoegen)
Bekende en onbekende hoeveelheden:
Eerst moeten we de snelheidsvector in componenten breken:
v_x=v_i\cos(\theta)=100\cos (30)\circa 86,6 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=100\sin (30)=50 \ tekst{ m/s}
Onze tabel met hoeveelheden is dan:
(tabel invoegen 3)
Eerst moeten we de tijd vinden dat de bal vliegt. We kunnen dit doen met de tweede verticale vergelijking_. Merk op dat we de symmetrie van de parabool gebruiken om te bepalen dat de uiteindelijke _y snelheid is de min van de initiaal:
Dan bepalen we hoe ver het beweegt in de X richting in deze tijd:
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 10.2\circa\underline{\bold{883}\text m}
Met behulp van de symmetrie van het parabolische pad kunnen we bepalen dat de snelheid het kleinst is bij 5.1 s, wanneer het projectiel op het hoogtepunt van zijn beweging is en de verticale snelheidscomponent 0 is. De x- en y-componenten van zijn beweging op dit moment zijn:
x_f=x_i+v_xt=86.6\times 5.1\circa\underline{\bold{442}\text m}\\ y_f=y_i+v_{yi} t-\frac 1 2 gt^2=50\times5.1- \frac 1 2 9.8 \times 5.1^2\circa \underline{\bold{128}\text{ m}}
Afleiding van kinematische vergelijkingen
Vergelijking #1: Als de versnelling constant is, dan geldt:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Als we de snelheid oplossen, hebben we:
v_f=v_i+at
Vergelijking #2: De gemiddelde snelheid kan op twee manieren worden geschreven:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Als we _v. vervangenf _met de uitdrukking uit vergelijking #1 krijgen we:
\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
Oplossen voor Xf geeft:
x_f=x_i+v_i t+\frac 1 2 at^2
Vergelijking #3: Begin met het oplossen van: t in vergelijking #1
v_f=v_i+at \impliceert t=\frac{(v_f-v_i)}{a}
Vul deze uitdrukking in voor t in de gemiddelde snelheidsrelatie:
v_{avg}=\frac{(x_f-x_i)}{t}=\frac{(v_f+v_i)}{2}\implies \frac{(x_f-x_i)}{(\frac{(v_f-v_i )}{a})}=\frac{(v_f+v_i)}{2}
Het herschikken van deze uitdrukking geeft:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a (x_f - x_i)