Plaknes vienādojumu trīsdimensiju telpā var ierakstīt algebriskā apzīmējumā kā ax + ar + cz = d, kur vismaz vienu no reālā skaitļa konstantes "a", "b" un "c" nedrīkst būt nulle, un "x", "y" un "z" apzīmē trīsdimensiju asis. lidmašīna. Ja tiek doti trīs punkti, plakni var noteikt, izmantojot vektoru krustojuma produktus. Vektors ir telpa. Krustojums ir divu vektoru reizinājums.
Iegūstiet trīs punktus lidmašīnā. Apzīmējiet tos ar “A”, “B” un “C.” Piemēram, pieņemsim, ka šie punkti ir A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); un C = (1, 3, 4).
Atrodiet plaknē divus dažādus vektorus. Piemērā izvēlieties vektorus AB un AC. Vektors AB iet no punkta A uz punktu B, un vektors AC iet no punkta A uz punktu C. Tātad, lai iegūtu vektoru AB, atņemiet katru koordinātu punktā A no katras koordinātas punktā B: (-2, 3, 1). Līdzīgi vektors AC ir punkts-C mīnus punkts A vai (-2, 2, 3).
Aprēķiniet divu vektoru šķērsproduktu, lai iegūtu jaunu vektoru, kas ir normāls (vai perpendikulārs vai ortogonāls) katram no diviem vektoriem un arī plaknei. Divu vektoru (a1, a2, a3) un (b1, b2, b3) krustproduktu izsaka ar N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). Šajā piemērā AB un AC šķērsprodukts N ir i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], kas vienkāršojas līdz N = 7i + 4j + 2k. Ņemiet vērā, ka “i”, “j” un “k” tiek izmantoti vektoru koordinātu attēlošanai.
Iegūstiet plaknes vienādojumu. Plaknes vienādojums ir Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, kur (a1, a2, a3) ir jebkurš plaknes punkts un (Ni, Nj, Nk ) ir normālais vektors, N. Piemērā, izmantojot punktu C, kas ir (1, 3, 4), plaknes vienādojums ir 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, kas vienkāršo līdz 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 vai 7x + 4y + 2z = 27.
Pārbaudiet savu atbildi. Nomainiet sākotnējos punktus, lai redzētu, vai tie atbilst plaknes vienādojumam. Noslēdzot piemēru, ja jūs aizstājat kādu no trim punktiem, jūs redzēsiet, ka plaknes vienādojums patiešām ir izpildīts.
Padomi
Skatiet resursus, lai uzzinātu padomus par to, kā izmantot trīs vienlaicīgu vienādojumu sistēmas, lai atrastu plaknes vienādojumu.