Ja jūs zināt divus punktus, kas ietilpst noteiktā eksponenciālā līknē, jūs varat definēt līkni, atrisinot vispārējo eksponenciālo funkciju, izmantojot šos punktus. Praksē tas nozīmē punktu y un x aizstāšanu vienādojumā y = abx. Procedūra ir vienkāršāka, ja x vērtība vienam no punktiem ir 0, kas nozīmē, ka punkts atrodas uz y ass. Ja nevienam punktam nav nulles x vērtības, x un y atrisināšanas process ir nedaudz sarežģītāks.
Kāpēc eksponenciālās funkcijas ir svarīgas
Daudzas svarīgas sistēmas seko eksponenciāliem izaugsmes un sabrukšanas modeļiem. Piemēram, baktēriju skaits kolonijā parasti palielinās eksponenciāli, un apkārtējā radiācija atmosfērā pēc kodola notikuma parasti samazinās eksponenciāli. Ņemot datus un uzzīmējot līkni, zinātniekiem ir labākas iespējas prognozēt.
No punktu pāra līdz grafikam
Jebkuru punktu divdimensiju grafikā var attēlot ar diviem skaitļiem, kas parasti tiek ierakstīti in forma (x, y), kur x nosaka horizontālo attālumu no sākuma un y apzīmē vertikāli attālums. Piemēram, punkts (2, 3) ir divas vienības pa labi no y ass un trīs vienības virs x ass. No otras puses, punkts (-2, -3) ir divas vienības pa kreisi no y ass. un trīs vienības zem x ass.
Ja jums ir divi punkti, (x1, y1) un (x2, y2), jūs varat definēt eksponenciālo funkciju, kas iet caur šiem punktiem, aizstājot tos vienādojumā y = abx un risinot a un b. Parasti jums ir jāatrisina šis vienādojumu pāris:
y1 = abx1 un y2 = abx2, .
Šajā formā matemātika izskatās nedaudz sarežģīta, taču pēc tam, kad esat veicis dažus piemērus, tas izskatās mazāk.
Viens punkts uz X ass
Ja kāda no x vērtībām - sakiet x1 - ir 0, darbība kļūst ļoti vienkārša. Piemēram, atrisinot punktu (0, 2) un (2, 4) vienādojumu, iegūst:
2 = ab0 un 4 = ab2. Tā kā mēs zinām, ka b0 = 1, pirmais vienādojums kļūst par 2 = a. Aizstājot a otrajā vienādojumā, iegūst 4 = 2b2, kuru mēs vienkāršojam līdz b2 = 2 vai b = kvadrātsakne no 2, kas ir aptuveni 1,41. Definējošā funkcija ir y = 2 (1,41)x.
Neviens punkts uz X ass
Ja neviena no x vērtībām nav nulle, vienādojumu pāra atrisināšana ir nedaudz apgrūtinošāka. Henohmats iepazīstina mūs ar vienkāršu piemēru, lai precizētu šo procedūru. Savā piemērā viņš izvēlējās punktu pāri (2, 3) un (4, 27). Tādējādi tiek iegūts šāds vienādojumu pāris:
27 = ab4
3 = ab2
Ja jūs dalāt pirmo vienādojumu ar otro, jūs saņemat
9 = b2
tātad b = 3. Iespējams, ka b ir vienāds ar -3, bet šajā gadījumā pieņemsim, ka tas ir pozitīvs.
Jūs varat aizstāt šo vērtību b jebkurā vienādojumā, lai iegūtu a. Otro vienādojumu ir vieglāk izmantot, tāpēc:
3 = a (3)2 ko var vienkāršot līdz 3 = a9, a = 3/9 vai 1/3.
Vienādojumu, kas iet caur šiem punktiem, var uzrakstīt kā y = 1/3 (3)x.
Piemērs no reālās pasaules
Kopš 1910. gada cilvēku populācijas pieaugums ir bijis eksponenciāls, un, uzzīmējot izaugsmes līkni, zinātniekiem ir labākas iespējas prognozēt un plānot nākotni. 1910. gadā pasaules iedzīvotāju skaits bija 1,75 miljardi, bet 2010. gadā - 6,87 miljardi. Ņemot par sākuma punktu 1910. gadu, tas dod punktu pāri (0, 1,75) un (100, 6,87). Tā kā pirmā punkta x vērtība ir nulle, mēs viegli varam atrast a.
1,75 = ab0 vai a = 1,75. Pievienojot šo vērtību kopā ar otrā punkta vērtībām vispārējā eksponentvienādojumā, iegūst 6,87 = 1,75b100, kas dod b vērtību kā simto sakni 6,87 / 1,75 vai 3,93. Tātad vienādojums kļūst y = 1,75 (simtā sakne no 3,93)x. Lai gan tas prasa vairāk nekā slaidu likumu, zinātnieki var izmantot šo vienādojumu, lai prognozētu iedzīvotāju skaitu nākotnē, lai palīdzētu pašreizējiem politiķiem izveidot atbilstošu politiku.