Absolūtās vērtības nevienlīdzību atrisināšana līdzinās absolūtās vērtības vienādojumu risināšanai, taču jāpatur prātā pāris papildu detaļas. Tas palīdz ērti jau atrisināt absolūtās vērtības vienādojumus, taču tas ir labi, ja arī jūs tos mācāties kopā!
Absolūtās vērtības nevienlīdzības definīcija
Pirmkārt, anabsolūtās vērtības nevienlīdzībair nevienlīdzība, kas ietver absolūtas vērtības izpausmi. Piemēram,
| 5 + x | - 10> 6
ir absolūtās vērtības nevienlīdzība, jo tai ir nevienlīdzības zīme,> un absolūtās vērtības izteiksme, | 5 +x |.
Kā atrisināt absolūtās vērtības nevienlīdzību
Thesoļi absolūtās vērtības nevienlīdzības atrisināšanaiir līdzīgi absolūtās vērtības vienādojuma atrisināšanas soļiem:
1. darbība:Izolējiet absolūtās vērtības izteiksmi nevienlīdzības vienā pusē.
2. darbība:Atrisiniet nevienlīdzības pozitīvo "versiju".
3. solis:Atrisiniet nevienlīdzības negatīvo "versiju", reizinot nevienlīdzības otrā pusē esošo daudzumu ar −1 un apvēršot nevienlīdzības zīmi.
Tas ir daudz ko uzņemt vienlaikus, tāpēc šeit ir sniegts piemērs, kas palīdzēs jums veikt soļus.
Atrisiniet nevienlīdzībux:
| 5 + 5x | - 3> 2
Lai to izdarītu, iegūstiet | 5 + 5x| pati par sevi nevienlīdzības kreisajā pusē. Viss, kas jums jādara, ir pievienot 3 katrā pusē:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Tagad ir divas nevienlīdzības "versijas", kas mums jāatrisina: pozitīvā "versija" un negatīvā "versija".
Veicot šo darbību, mēs pieņemam, ka lietas ir tādas, kādas tās izskatās: 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Tā ir vienkārša nevienlīdzība; jums vienkārši jāatrisinaxkā parasti. No abām pusēm atņemiet 5, pēc tam sadaliet abas puses ar 5.
\ begin {aligned} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(atņemiet piecus no abām pusēm)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(sadaliet abas puses ar piecām)} \\ & x> 0 \ end {aligned}
Nav slikti! Tātad viens no mūsu nevienlīdzības iespējamajiem risinājumiem ir tādsx> 0. Tā kā pastāv absolūtās vērtības, ir pienācis laiks apsvērt vēl vienu iespēju.
Lai saprastu šo nākamo mazliet, tas palīdz atcerēties, ko nozīmē absolūtā vērtība.Absolūtā vērtībamēra skaitļa attālumu no nulles. Attālums vienmēr ir pozitīvs, tāpēc 9 ir deviņu vienību attālumā no nulles, bet −9 ir arī deviņu vienību attālumā no nulles.
Tātad | 9 | = 9, bet | −9 | = 9 tāpat.
Tagad atgriezīsimies pie iepriekš minētās problēmas. Iepriekš minētais darbs parādīja, ka 5 + 5x| > 5; citiem vārdiem sakot, "kaut kā" absolūtā vērtība ir lielāka par piecām. Tagad jebkurš pozitīvs skaitlis, kas ir lielāks par pieciem, atradīsies tālāk no nulles nekā pieci. Tātad pirmais variants bija "kaut kas", 5 + 5x, ir lielāks par 5.
Tas ir:
5 + 5x> 5
Tas ir iepriekš aprakstītais scenārijs, 2. solis.
Tagad padomājiet nedaudz tālāk. Kas vēl ir piecu vienību attālumā no nulles? Nu, negatīvie pieci ir. Un viss tālāk pa skaitlisko līniju no negatīvā piecinieka būs vēl tālāk no nulles. Tātad mūsu "kaut kas" varētu būt negatīvs skaitlis, kas atrodas tālāk no nulles, nekā negatīvs piecis. Tas nozīmē, ka tas būtu lielāks skanošs skaitlis, bet tehniskimazāk nekāmīnus pieci, jo tas skaitļu līnijā virzās negatīvā virzienā.
Tātad mūsu "kaut kas" 5 + 5x varētu būt mazāks par −5.
5 + 5x
Ātrs veids, kā to izdarīt algebriski, ir reizināt nevienlīdzības otrajā pusē esošo daudzumu 5 ar negatīvo, pēc tam apcelt nevienlīdzības zīmi:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Tad atrisiniet kā parasti.
\ begin {izlīdzināts} & 5 + 5x
Tātad ir divi iespējamie nevienlīdzības risinājumix> 0 vaix< −2. Pārbaudiet sevi, pieslēdzot dažus iespējamos risinājumus, lai pārliecinātos, ka nevienlīdzība joprojām pastāv.
Absolūtās vērtības nevienlīdzība bez risinājuma
Ir scenārijs, kur būtunav absolūtas vērtības nevienlīdzības risinājumu. Tā kā absolūtās vērtības vienmēr ir pozitīvas, tās nevar būt vienādas vai mazākas par negatīvajiem skaitļiem.
Tātad |x| risinājuma navjo absolūtās vērtības izteiksmes rezultātam jābūt pozitīvam.
Intervāla apzīmējums
Lai rakstītu mūsu galvenā piemēra risinājumu, rakstietintervāla apzīmējums, padomājiet par to, kā risinājums izskatās ciparu līnijā. Mūsu risinājums bijax> 0 vaix< −2. Skaitļu līnijā tas ir atvērts punkts pie 0, ar līniju, kas stiepjas līdz pozitīvai bezgalībai, un atvērts punkts pie -2, ar līniju, kas stiepjas līdz negatīvai bezgalībai. Šie risinājumi ir vērsti viens no otra, nevis viens pret otru, tāpēc ņemiet katru gabalu atsevišķi.
Ja x> 0 skaitļu rindā, uz nulles ir atvērts punkts un pēc tam līnija, kas stiepjas līdz bezgalībai. Intervālu apzīmējumā atvērts punkts tiek attēlots ar iekavām (), un slēgts punkts vai nevienlīdzība ar ≥ vai ≤ izmantotu iekavas []. Tātad priekšx> 0, rakstiet (0, ∞).
Otra puse,x
"Vai" intervāla apzīmējumā ir savienības zīme, ∪.
Tātad intervālu apzīmējumu risinājums ir
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)