Matemātikā dažkārt rodas nepieciešamība pierādīt, vai funkcijas ir atkarīgas vai neatkarīgas viena no otras lineārā nozīmē. Ja jums ir divas funkcijas, kas ir lineāri atkarīgas, šo funkciju vienādojumu grafika iegūšana rada punktus, kas pārklājas. Funkcijas ar neatkarīgiem vienādojumiem grafikā nepārklājas. Viena metode, kā noteikt, vai funkcijas ir atkarīgas vai neatkarīgas, ir funkciju Wronskian aprēķināšana.
Kas ir vronskietis?
Divu vai vairāku funkciju vronskietis ir tas, ko sauc par determinantu, kas ir īpaša funkcija, ko izmanto, lai salīdzinātu matemātiskos objektus un pierādītu noteiktus faktus par tiem. Wronskian gadījumā determinantu izmanto, lai pierādītu atkarību vai neatkarību starp divām vai vairākām lineārām funkcijām.
Wronskian Matrix
Lai aprēķinātu Wronskian lineārajām funkcijām, funkcijas jāatrisina tai pašai vērtībai matricā, kas satur gan funkcijas, gan to atvasinājumus. Piemērs tam ir
W (f, g) (t) = \ sākas {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
kas nodrošina Wronskian divas funkcijas (
Wronskian atrisināšana
Kad funkcijas ir sakārtotas matricā, reiziniet katru funkciju ar otras funkcijas atvasinājumu un atņemiet pirmo vērtību no otrās. Iepriekš sniegtajā piemērā tas jums dod
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Ja galīgā atbilde ir vienāda ar nulli, tas parāda, ka abas funkcijas ir atkarīgas. Ja atbilde ir kaut kas cits, nevis nulle, funkcijas ir neatkarīgas.
Wronskian piemērs
Lai labāk izprastu, kā tas darbojas, pieņemiet to
f (t) = x + 3 \ teksts {un} g (t) = x - 2
Izmantojot vērtībut= 1, jūs varat atrisināt funkcijas kā
f (1) = 4 \ teksts {un} g (1) = -1
Tā kā šīs ir lineārās pamatfunkcijas ar slīpumu 1, abu atvasinājumif(t) ung(t) vienāds 1. Savu vērtību savstarpēja pavairošana dod
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
kas nodrošina gala rezultātu 5. Lai gan lineārajām funkcijām ir vienāds slīpums, tās ir neatkarīgas, jo to punkti nepārklājas. Jaf(t) bija uzrādījis rezultātu −1, nevis 4, vronskietis būtu devis nulles rezultātu, lai norādītu uz atkarību.