3 Vienādojumu sistēmu risināšanas metodes

Trīs metodes, ko visbiežāk izmanto vienādojumu sistēmu risināšanai, ir aizstāšana, eliminācija un papildinātās matricas. Aizstāšana un izslēgšana ir vienkāršas metodes, kas var efektīvi atrisināt lielāko daļu divu vienādojumu sistēmu ar dažiem vienkāršiem soļiem. Paplašināto matricu metodei ir nepieciešami vairāki soļi, taču tās piemērošana attiecas uz lielāku sistēmu daudzveidību.

Aizstāšana ir vienādojumu sistēmu risināšanas metode, vienā no vienādojumiem noņemot visus mainīgos, izņemot vienu, un pēc tam atrisinot šo vienādojumu. To panāk, izolējot citu mainīgo vienādojumā un pēc tam aizstājot šo mainīgo vērtības citā vienādojumā. Piemēram, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu x + y = 4, 2x - 3y = 3, izolējiet mainīgo x pirmajā vienādojums, lai iegūtu x = 4 - y, tad aizstājiet šo y vērtību otrajā vienādojumā, lai iegūtu 2 (4 - y) - 3y = 3. Šis vienādojums vienkāršojas līdz -5y = -5 vai y = 1. Pievienojiet šo vērtību otrajam vienādojumam, lai atrastu x vērtību: x + 1 = 4 vai x = 3.

Eliminācija ir vēl viens veids, kā atrisināt vienādojumu sistēmas, pārrakstot vienu no vienādojumiem tikai viena mainīgā izteiksmē. Eliminācijas metode to panāk, saskaitot vai atņemot vienādojumus viens no otra, lai atceltu vienu no mainīgajiem. Piemēram, pievienojot vienādojumus x + 2y = 3 un 2x - 2y = 3, iegūst jaunu vienādojumu 3x = 6 (ņemiet vērā, ka y termini tika atcelti). Pēc tam sistēma tiek atrisināta, izmantojot tādas pašas metodes kā aizstāšanai. Ja nav iespējams atcelt mainīgos lielumos vienādojumos, būs nepieciešams visu vienādojumu reizināt ar koeficientu, lai koeficienti sakristu.

Papildinātās matricas var izmantot arī vienādojumu sistēmu risināšanai. Palielinātā matrica sastāv no rindām katram vienādojumam, kolonnām katram mainīgajam un papildinātai kolonnai, kurā ir nemainīgs termins vienādojuma otrā pusē. Piemēram, paplašinātā matrica vienādojumu sistēmai 2x + y = 4, 2x - y = 0 ir [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Nākamais solis ietver elementāru rindu darbību izmantošanu, piemēram, rindas reizināšanu vai dalīšanu ar konstanti, kas nav nulle, un rindu saskaitīšanu vai atņemšanu. Šo darbību mērķis ir pārveidot matricu par rindu ešelona formu, kurā pirmais ieraksts, kas nav nulle katrā rindā, ir 1, ieraksti virs un zem šī ieraksta ir visas nulles, un katras rindas pirmais ieraksts, kas nav nulle, vienmēr atrodas pa labi no visiem šādiem ierakstu rindās virs tā. Rindas ešelona forma iepriekšminētajai matricai ir [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Pirmā mainīgā vērtību norāda pirmā rinda (1x + 0y = 1 vai x = 1). Otrā mainīgā lielumu norāda otrā rinda (0x + 1y = 2 vai y = 2).

Aizstāšana un izslēgšana ir vienkāršākas vienādojumu risināšanas metodes un tiek izmantotas daudz biežāk nekā papildinātas matricas pamata algebrā. Aizstāšanas metode ir īpaši noderīga, ja viens no mainīgajiem lielumiem jau ir izolēts vienā no vienādojumiem. Eliminācijas metode ir noderīga, ja viena no mainīgajiem koeficients ir vienāds (vai tā negatīvs ekvivalents) visos vienādojumos. Papildināto matricu galvenā priekšrocība ir tā, ka to var izmantot, lai atrisinātu trīs vai vairāk vienādojumu sistēmas situācijās, kad aizstāšana un izslēgšana nav vai nav iespējama, vai nav iespējama.