Algebra bieži ietver izteicienu vienkāršošanu, taču daži izteicieni ir daudz mulsinošāki nekā citi. Kompleksie skaitļi ietver daudzumu, kas pazīstams kāi, “iedomāts” skaitlis ar īpašumui= √−1. Ja jums vienkārši jāpiedalās izteiksmē ar sarežģītu skaitli, tas var šķist biedējoši, taču tas ir diezgan vienkāršs process, kad esat iemācījies pamatnoteikumus.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Vienkāršojiet kompleksos skaitļus, ievērojot algebras likumus ar kompleksiem skaitļiem.
Kas ir komplekss skaitlis?
Sarežģītus skaitļus nosaka, iekļaujotitermins, kas ir kvadrātsakne mīnus viens. Pamatlīmeņa matemātikā negatīvu skaitļu kvadrātsaknes patiesībā nepastāv, taču tās laiku pa laikam parādās algebras problēmās. Kompleksa skaitļa vispārīgā forma parāda to struktūru:
z = a + bi
Kurzapzīmē kompleksa numuru,aapzīmē jebkuru skaitli (sauktu par “īsto” daļu) unbapzīmē citu skaitli (sauktu par “iedomātu” daļu), kas abi var būt pozitīvi vai negatīvi. Tātad kompleksa numura piemērs ir:
z = 2 −4i
Tā kā visas negatīvo skaitļu kvadrātsaknes var attēlot ar reizinājumiem
Pamatnoteikumi algebrai ar kompleksiem skaitļiem
Lai saskaitītu un atņemtu sarežģītus skaitļus, vienkārši atsevišķi pievienojiet vai atņemiet reālās un iedomātās daļas. Tātad par kompleksiem skaitļiemz = 2 – 4iunw = 3 + 5i, summa ir:
\ sākt {izlīdzināt} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {izlīdzināts}
Skaitļu atņemšana darbojas tāpat:
\ sākums {izlīdzināts} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ beigas {izlīdzināts }
Reizināšana ir vēl viena vienkārša darbība ar sarežģītiem skaitļiem, jo tā darbojas kā parasta reizināšana, izņemot to, ka jums tas jāatcerasi2 = −1. Tātad, lai aprēķinātu 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Bet kopš tā laikai2= −1, tad:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Ar pilniem kompleksiem skaitļiem (izmantojotz = 2 – 4iunw = 3 + 5iatkal), jūs tos reizināt tāpat kā ar parastajiem skaitļiem, piemēram, (a + b) (c + d), izmantojot metodi “pirmais, iekšējais, ārējais, pēdējais” (FOIL), laia + b) (c + d) = ac + bc + reklāma + bd. Viss, kas jums jāatceras, ir vienkāršot visus gadījumusi2. Piemēram, piemēram:
\ sākas {izlīdzināts} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ beigas {izlīdzinātas}
Sarežģītu skaitļu dalīšana
Sarežģītu skaitļu dalīšana ietver frakcijas skaitītāja un saucēja reizināšanu ar saucēja komplekso konjugātu. Komplekss konjugāts vienkārši nozīmē kompleksa numura versiju ar iedomātu daļu, kas apgriezta ar zīmi. Tātad priekšz = 2 – 4i, kompleksais konjugātsz = 2 + 4i, un parw = 3 + 5i, w = 3 −5i. Problēmas gadījumā:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Nepieciešamais konjugāts irw*. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar šo, lai iegūtu:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Un pēc tam jūs strādājat tāpat kā iepriekšējā sadaļā. Skaitītājs dod:
\ begin {izlīdzināts} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {izlīdzināts}
Un saucējs dod:
\ sākums {izlīdzināts} (3 + 5i) (3-5i) un = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ beigas {izlīdzināts}
Tas nozīmē:
\ begin {izlīdzināts} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {aligned}
Sarežģītu skaitļu vienkāršošana
Izmantojiet iepriekš minētos noteikumus pēc nepieciešamības, lai vienkāršotu sarežģītas izteiksmes. Piemēram:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
To var vienkāršot, izmantojot saskaitīšanas kārtulu skaitītājā, reizināšanas likumu saucējā un pēc tam pabeidzot dalīšanu. Skaitītājam:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Saucējam:
\ begin {izlīdzināts} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {izlīdzināts}
To ievietošana atpakaļ dod:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Abas daļas reizinot ar saucēja konjugātu, rodas:
\ sākt {izlīdzināt} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {izlīdzināts}
Tātad tas nozīmēzvienkāršo šādi:
\ begin {izlīdzināts} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {izlīdzināts}