Rotācijas kinētiskā enerģijaapraksta kustības enerģiju, kas rodas objekta rotācijas vai apļveida kustības rezultātā. Atgādiniet tolineārā kinētiskā enerģijamasumpārvietojoties ar ātrumuvdod 1 / 2mv2. Šis ir vienkāršs aprēķins jebkuram objektam, kas pārvietojas pa taisnas līnijas ceļu. Tas attiecas uz objekta masas centru, ļaujot objektu tuvināt kā punktu masu.
Ja mēs vēlamies aprakstīt paplašināta objekta kinētisko enerģiju, kas piedzīvo sarežģītāku kustību, aprēķins kļūst sarežģītāks.
Mēs varētu veikt secīgus tuvinājumus, sadalot paplašināto objektu mazos gabaliņos, no kuriem katru var tuvināt kā a punktu masu un pēc tam aprēķiniet lineāro kinētisko enerģiju katrai punkta masai atsevišķi un saskaitiet tos visus, lai atrastu kopējo objekts. Jo mazāku mēs sadalām objektu uz augšu, jo labāk ir tuvinājums. Robežā, kur gabali kļūst bezgalīgi mazi, to var izdarīt ar kalkulāciju.
Bet mums ir paveicies! Runājot par rotācijas kustību, ir vienkāršojums. Rotējošam objektam, ja mēs raksturojam tā masas sadalījumu ap rotācijas asi pēc tā inerces momenta,
Es, tad mēs varam izmantot vienkāršu rotācijas kinētiskās enerģijas vienādojumu, kas apspriests vēlāk šajā rakstā.Inerces moments
Inerces momentsir mērs tam, cik grūti objektam mainīt rotācijas kustību ap konkrēto asi. Rotējoša objekta inerces moments ir atkarīgs ne tikai no objekta masas, bet arī no tā, kā šī masa tiek sadalīta ap rotācijas asi. Jo tālāk no ass, kurā masa tiek sadalīta, jo grūtāk ir mainīt tās rotācijas kustību un līdz ar to lielāks inerces moments.
SI vienības inerces momentam ir kgm2 (kas atbilst mūsu uzskatam, ka tas ir atkarīgs no masas un attāluma no rotācijas ass). Dažādu objektu inerces momentus var atrast tabulā vai no aprēķina.
Padomi
Jebkura objekta inerces brīdi var atrast, izmantojot aprēķinu un punktu masas inerces momenta formulu.
Rotācijas kinētiskās enerģijas vienādojums
Rotācijas kinētiskās enerģijas formulu izsaka:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
KurEsir objekta inerces moments unωir objekta leņķiskais ātrums radiānos sekundē (rad / s). Rotācijas kinētiskās enerģijas SI vienība ir džouls (J).
Rotācijas kinētiskās enerģijas formulas forma ir analoga translācijas kinētiskās enerģijas vienādojumam; inerces moments spēlē masas lomu, un leņķiskais ātrums aizstāj lineāro ātrumu. Ņemiet vērā, ka rotācijas kinētiskās enerģijas vienādojums dod tādu pašu punktu masas rezultātu kā lineārais vienādojums.
Ja mēs iedomājamies punktu masumpārvietojoties rādiusa lokārar ātrumuv, tad tā leņķiskais ātrums ir ω = v / r un tā inerces moments ir mr2. Abi kinētiskās enerģijas vienādojumi dod tādu pašu rezultātu, kā paredzēts:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ Atcelt {r ^ 2} v ^ 2} {\ Atcelt {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Ja objekts ir gan rotējošs, gan tā masas centrs pārvietojas pa taisnu ceļu (kā tas notiek, piemēram, ar ripojošu riepu), tadkopējā kinētiskā enerģijair rotācijas kinētiskās enerģijas un translācijas kinētisko enerģiju summa:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Piemēri, izmantojot rotācijas kinētiskās enerģijas formulu
Rotācijas kinētiskās enerģijas formulai ir daudz pielietojumu. To var izmantot, lai aprēķinātu griešanās objekta vienkāršo kinētisko enerģiju, lai aprēķinātu kinētisko enerģiju ritošs objekts (objekts, kas piedzīvo gan rotācijas, gan translācijas kustību) un jāatrisina citiem nezināmi. Apsveriet šādus trīs piemērus:
1. piemērs:Zeme griežas ap savu asi apmēram reizi 24 stundās. Ja pieņemam, ka tam ir vienāds blīvums, kāda ir tā rotācijas kinētiskā enerģija? (Zemes rādiuss ir 6,37 × 106 m, un tā masa ir 5,97 × 1024 Kilograms.)
Lai atrastu rotācijas kinētisko enerģiju, mums vispirms jāatrod inerces moments. Aproksimējot Zemi kā cietu sfēru, mēs iegūstam:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ reizes10 ^ {24} \ teksts {kg}) (6,37 \ reizes10 ^ 6 \ teksts {m}) ^ 2 = 9,69 \ reizes10 ^ {37} \ teksts {kgm} ^ 2
Leņķa ātrums ir 2π radiāns dienā. Konvertējot to uz rad / s, iegūst:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ Atcelt {\ teksts {diena}}} \ frac {1 \ Atcelt {\ teksts {diena}}} {86400 \ teksts {sekundes}} = 7,27 reizes10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Tātad Zemes rotācijas kinētiskā enerģija ir:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ reizes10 ^ {37} \ teksts {kgm} ^ 2) (7,27 reizes10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ reizes 10 ^ {29} \ text {J}
Jautrs fakts: Tas vairāk nekā 10 reizes pārsniedz kopējo enerģiju, ko saule izliek minūtes laikā!
2. piemērs:Vienāds 0,75 kg masas un 0,1 m rādiusa cilindrs ripo pāri grīdai ar nemainīgu ātrumu 4 m / s. Kāda ir tā kinētiskā enerģija?
Kopējo kinētisko enerģiju izsaka:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Šajā gadījumā es = 1/2 mr2 ir cieta cilindra inerces moments, unωir saistīts ar lineāro ātrumu caur ω = v / r.
Vienkāršojot kopējās kinētiskās enerģijas izteiksmi un pievienojot vērtības, iegūst:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Ņemiet vērā, ka mums pat nevajadzēja izmantot rādiusu! Tas tika atcelts tiešas sakarības starp rotācijas ātrumu un lineāro ātrumu dēļ.
3. piemērs:Skolnieks ar velosipēdu no atpūtas nolaižas kalnā. Ja kalna vertikālais augstums ir 30 m, cik ātri students iet kalna apakšā? Pieņemsim, ka velosipēds sver 8 kg, braucējs sver 50 kg, katrs ritenis sver 2,2 kg (iekļauts velosipēda svarā) un katra riteņa diametrs ir 0,7 m. Aptuveni novērtējiet riteņus kā stīpas un pieņemiet, ka berze ir nenozīmīga.
Šeit mēs varam izmantot mehānisko enerģijas saglabāšanu, lai atrastu galīgo ātrumu. Potenciālā enerģija kalna galā tiek pārveidota par kinētisko enerģiju apakšā. Šī kinētiskā enerģija ir visas personas + velosipēdu sistēmas translācijas kinētiskās enerģijas un riepu rotācijas kinētisko enerģiju summa.
Sistēmas kopējā enerģija:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ teksts {kg} + 8 \ teksts {kg}) (9,8 \ teksts {m / s} ^ 2) (30 \ teksts {m}) = 17,052 \ īsziņa {J}
Kopējās enerģijas formula kinētisko enerģiju izteiksmē kalna apakšā ir:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {riepas} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ reizes m_ {riepa} \ reizes r_ {riepa} ^ 2) (v / r_ {riepa}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {riepa} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {riepa} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Atrisinotvdod:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {riepa} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Visbeidzot, pievienojot numurus, mēs saņemam atbildi:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}