Divu skalāru lielumu reizinājums ir skalārs, un skalāra ar vektoru reizinājums ir vektors, bet kā ir ar divu vektoru reizinājumu? Vai tas ir skalārs, vai cits vektors? Atbilde ir, tas varētu būt vai nu!
Ir divi veidi, kā pavairot vektorus kopā. Viens no tiem ir viņu dotā produkta iegūšana, kas dod skalāru, un otrs - ņemot viņu šķērsproduktu, kas dod citu vektoru. Kuru produktu lietot, ir atkarīgs no konkrētā scenārija un kāda daudzuma jūs mēģināt atrast.
Thedot produktsdažreiz tiek saukts parskalārais produktsvaiiekšējais produkts. Ģeometriski jūs varat domāt par punktu reizinājumu starp diviem vektoriem kā veidu, kā reizināt vektoru vērtības, kurās tiek skaitīti tikai viena virziena ieguldījumi.
- Piezīme: Punktu produkti var būt negatīvi vai pozitīvi, taču šī zīme nenorāda virzienu. Lai gan vienā dimensijā vektora virzienu bieži norāda ar zīmi, skalārajiem lielumiem var būt arī saistītas zīmes, kas nav virziena rādītāji. Parāds ir tikai viens no daudzajiem tā piemēriem.
Punkta produkta definīcija
Vektoru punktu reizinājumsa = (ax, ay)unb = (bx, by)Dekarta koordinātu sistēmā definē šādi:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Paņemot vektora punktu punktu ar sevi, rodas interesantas attiecības:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Kur |a| ir lielums (garums)apēc Pitagora teorēmas.
Izmantojot kosinusa likumu, var iegūt vēl vienu punktu produkta formulu. Tas tiek darīts šādi:
Apsveriet vektorus, kas nav nulleaunbkopā ar to starpības vektorua - b. Sakārtojiet trīs vektorus, izveidojot trīsstūri.
Trigonometrijas kosinusa likums mums saka:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
Izmantojot punktveida produkta definīciju, mēs iegūstam:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Nosakot abus izteicienus vienādus un pēc tam vienkāršojot, iegūstam:
\ Atcelt {| \ bold {a} | ^ 2} + \ Atcelt {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ Atcelt {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ Atcelt {| \ treknrakstā {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ implicit \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ treknrakstā {b} | \ cos (\ theta)}
Šis formulējums ļauj spēlēt mūsu ģeometrisko intuīciju. Daudzumsa| cos (θ) ir vektora projekcijas lielumsauz vektorub.
Tātad par punktproduktu varam domāt kā par viena vektora projekciju uz otru un pēc tam par to vērtību reizinājumu. Citiem vārdiem sakot, to var uzskatīt par viena vektora reizinājumu ar otra vektora daudzumu tajā pašā virzienā kā pats.
Dot produkta īpašības
Tālāk ir norādītas vairākas punktveida produkta īpašības, kuras jums varētu šķist noderīgas.
\ # \ teksts {1. Ja} \ theta = 0 \ text {, tad} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Tas ir tāpēc, ka cos (0) = 1.
\ # \ teksts {2. Ja} \ theta = 180 \ text {, tad} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Tas ir tāpēc, ka cos (180) = -1.
\ # \ teksts {3. Ja} \ theta = 90 \ text {, tad} \ bold {a \ cdot b} = 0
Tas ir tāpēc, ka cos (90) = 0.
- Piezīme: 0 <
θ
<90, punktveida produkts būs pozitīvs un 90 <
θ
<180, punktveida produkts būs negatīvs.
\ # \ teksts {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Tas izriet no komutatīvā likuma piemērošanas punktveida produkta definīcijai.
\ # \ teksts {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Pierādījums:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ teksts {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Pierādījums:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ treknrakstā {b}
Kā atrast Dot produktu
1. piemērs:Fizikā darbs, ko veic spēksFuz objektu, kad tas tiek pārvietotsd, ir definēts kā:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Kur θ ir leņķis starp spēka vektoru un pārvietojuma vektoru.
Spēka paveiktā darba apjoms norāda, cik daudz šis spēks veicināja pārvietošanos. Ja spēks ir vienā virzienā ar pārvietojumu (cos (θ) = 0), tas dod savu maksimālo ieguldījumu. Ja tas ir perpendikulārs pārvietojumam (cos (Ѳ) = 90), tas vispār neveic ieguldījumu. Un, ja tas atrodas pretī nobīdei, (cos (θ) = 180), tas dod negatīvu ieguldījumu.
Pieņemsim, ka bērns nospiež rotaļu vilcienu pāri sliedei, pieliekot 5 N spēku 25 grādu leņķī attiecībā pret sliežu ceļu. Cik lielu darbu bērns veic vilcienā, kad to pārvieto par 0,5 m?
Risinājums:
F = 5 \ teksts {N} \\ d = 0,5 \ teksts {m} \\ \ theta = 25 \ grāds \\
Izmantojot punktveida produkta darba definīciju un pievienojot vērtības, mēs iegūstam:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ reizes0,5 \ reizes \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
No šī konkrētā piemēra vajadzētu būt vēl skaidrākam, ka spēka pielietošana perpendikulāri pārvietošanas virzienam nedarbojas. Ja bērns vilcienu stūma taisnā leņķī pret sliežu ceļu, vilciens pa sliedi nepārvietosies ne uz priekšu, ne atpakaļ. Tas ir arī intuitīvi, ka bērna paveiktais darbs vilcienā palielināsies, samazinoties leņķim un spēks un pārvietošanās ir tuvāk izlīdzināšanai.
2. piemērs:Jauda ir vēl viens fiziskā daudzuma piemērs, kuru var aprēķināt, izmantojot punktveida produktu. Fizikā jauda ir vienāda ar darbu, dalītu ar laiku, bet to var uzrakstīt arī kā spēka un ātruma punktu reizinājumu, kā parādīts:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Kurvir ātrums.
Apsveriet iepriekšējo piemēru, kad bērns spēlē ar vilcienu. Ja tā vietā mums tiek teikts, ka tiek piemērots viens un tas pats spēks, liekot vilcienam pārvietoties pa sliežu ceļu ar ātrumu 2 m / s, tad, lai atrastu jaudu, mēs varam izmantot punktu punktu:
P = treknrakstā {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 reizes2 reizes cos (25) = 9,06 \ teksts {vati}
3. piemērs:Vēl viens piemērs, kur punktveida produktus izmanto fizikā, ir magnētiskās plūsmas gadījumā. Magnētiskā plūsma ir magnētiskā lauka daudzums, kas iet caur noteiktu apgabalu. Tas tiek atrasts kā magnētiskā lauka punktveida produktsBar teritorijuA. (Platības vektora virziens irnormālivai perpendikulāri laukuma virsmai.)
\ Phi = \ treknrakstā {B \ cdot A}
Pieņemsim, ka 0,02 Tesla lauks iet caur stieples cilpu ar rādiusu 10 cm, padarot 30 grādu leņķi ar parasto. Kāda ir plūsma?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 reizes (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ reizes \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Kad šī plūsma mainās, mainot lauka vērtību, mainot cilpas laukumu vai mainot leņķi, pagriežot cilpu vai lauka avotu, strāva tiks ierosināta cilpā, ģenerējot elektrība!
Atkal ņemiet vērā, kā leņķis ir svarīgs intuitīvā veidā. Ja leņķis būtu 90 grādi, tas nozīmētu, ka lauks atrodas vienā un tajā pašā plaknē ar laukumu un caur cilpu neiziet lauka līnijas, kā rezultātā plūsma nenotiek. Pēc tam plūsmas daudzums palielinās, jo tuvāk leņķis starp lauku un normālo kļūst 0. Punktu produkts ļauj mums noteikt, cik daudz lauka atrodas virsmai normālā virzienā, un tādējādi tas veicina plūsmu.
Vektoru projekcija un punktu produkts
Iepriekšējās sadaļās tika minēts, ka punktveida produktu var uzskatīt par veidu, kā vienu vektoru projicēt uz otru un pēc tam reizināt to lielumus. Tāpēc nav jābrīnās, ka vektora projekcijas formulu var iegūt no punktveida produkta.
Lai projicētu vektoruauz vektorub, mēs ņemam punktu punktuaarvienības vektorsvirzienābun pēc tam reiziniet šo skalāro rezultātu ar to pašu vienības vektoru.
Vienības vektors ir 1. garuma vektors, kas atrodas noteiktā virzienā. Vienības vektors vektora virzienābir vienkārši vektorsbdalīts ar tā lielumu:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Tātad šī projekcija ir:
\ text {Projekcija} \ bold {a} \ text {uz} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Liels) \ treknrakstā {b}
Dot produkts augstākā dimensijā
Tāpat kā vektori pastāv augstākā dimensijā, tāpat ir punktu produkts. Iedomājieties piemēru, kad bērns atkal stumj vilcienu. Pieņemsim, ka viņa nospiež gan uz leju, gan leņķī pret trases pusi. Standarta koordinātu sistēmā spēka un pārvietošanās vektorus vajadzētu attēlot kā trīsdimensiju.
Innizmēriem, punktveida produkts tiek definēts šādi:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underderset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Visas iepriekšējās punktveida produkta īpašības joprojām ir spēkā, un kosinusa likums atkal dod attiecības:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Ja katra vektora lielums tiek noteikts, izmantojot sekojošo, kas atkal atbilst Pitagora teorēmai:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Kā atrast Dot produktu trīs dimensijās
1. piemērs:Punktu produkts ir īpaši noderīgs, ja jāatrod leņķis starp diviem vektoriem. Piemēram, pieņemsim, ka mēs vēlamies noteikt leņķi starpa= (2, 3, 2) unb= (1, 4, 0). Pat ja jūs ieskicējat šos divus vektorus trīsvietīgā telpā, var būt ļoti grūti aptīt galvu ap ģeometriju. Bet matemātika ir diezgan vienkārša, izmantojot faktu, ka:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ nozīmē \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ treknrakstā {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
Pēc tam aprēķinot punkta punktuaunb:
\ bold {a \ cdot b} = 2 reizes1 + 3 reizes4 + 2 reizes0 = 14
Un aprēķinot katra vektora lielumus:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
Visbeidzot, pievienojot visu, mēs iegūstam:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ reizes 4.12} \ Big) = \ boxed {34,4 \ grāds}
2. piemērs:Pozitīvs lādiņš atrodas koordinātu punktā (3, 5, 4) trīsdimensiju telpā. Kurā punktā gar līniju, kas norāda vektora virzienua= (6, 9, 5) vai elektriskais lauks ir vislielākais?
Risinājums: Pēc mūsu zināšanām par to, kā elektriskā lauka stiprums ir saistīts ar attālumu, mēs zinām, ka punkts uz līnijas, kas ir vistuvāk pozitīvajam lādiņam, ir vieta, kur atradīsies lauks spēcīgākais. Pēc mūsu zināšanām par punktu produktiem mēs varētu uzminēt, ka šeit ir jēga izmantot projekcijas formulu. Šai formulai vajadzētu dot mums vektoru, kura gals atrodas tieši tajā punktā, kuru mēs meklējam.
Mums jāaprēķina:
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {onto} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Liels) \ treknrakstā {a}
Lai to izdarītu, vispirms ļauj atrast |a|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Tad punktveida produkts:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ reizes6 + 5 \ reizes9 + 4 \ reizes5 = 83
Dalot to ar |a|2 dod 83/142 = 0,585. Tad reizinot šo skalāru aradod:
0,585 \ bold {a} = 0,585 \ reizes (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Tādējādi ir punkts gar līniju, kurā lauks ir visspēcīgākais (3.51, 5.27, 2.93).