Lielākā daļa cilvēku atcerasPitagora teorēmano iesācēju ģeometrijas - tā ir klasika. Tā ir
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
kura, buncir taisnstūra trīsstūra malas (cir hipotenūza). Nu, šo teorēmu var pārrakstīt arī trigonometrijai!
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Pitagora identitātes ir vienādojumi, kas uzraksta Pitagora teorēmu trigfunkciju izteiksmē.
GalvenaisPitagora identitātesir:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ gultiņa ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Piemēri ir Pitagora identitātestrigonometriskās identitātes: vienādības (vienādojumi), kas izmanto trigonometriskās funkcijas.
Kāpēc tam ir nozīme?
Pitagora identitātes var būt ļoti noderīgas, lai vienkāršotu sarežģītus trig teikumus un vienādojumus. Iegaumējiet tos tagad, un jūs varat ietaupīt daudz laika ceļā!
Pierādījums, izmantojot trig funkciju definīcijas
Šīs identitātes ir diezgan vienkārši pierādīt, ja domājat par trig funkciju definīcijām. Piemēram, pierādīsim to
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Atcerieties, ka sinusa definīcija ir pretējā puse / hipotenūza un ka kosinuss ir blakus esošā puse / hipotenūza.
Tātad
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {iepretim} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Un
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {blakus} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Jūs varat viegli pievienot šos divus kopā, jo saucēji ir vienādi.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {iepretim} ^ 2 + \ text {blakus} ^ 2} {\ text {hipotenūze} ^ 2}
Tagad vēlreiz ieskatieties Pitagora teorēmā. Tas sakaa2 + b2 = c2. Paturiet to prātāaunbaizstāvēt pretējās un blakus esošās puses, uncapzīmē hipotenūzu.
Vienādojumu var pārkārtot, dalot abas puses arc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Kopša2 unb2 ir pretējās un blakus esošās puses unc2 ir hipotenūze, jums ir līdzvērtīgs apgalvojums iepriekšējam ar (pretējs2 + blakus2) / hipotenūza2. Un pateicoties darbam ara, b, cun Pitagora teorēmu, tagad jūs varat redzēt, ka šis apgalvojums ir vienāds ar 1!
Tātad
\ frac {\ text {iepretim} ^ 2 + \ text {blakus} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
un tāpēc:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Un labāk to pareizi izrakstīt: grēks2(θ) + cos2(θ) = 1).
Abpusējās identitātes
Pavadīsim dažas minūtes, apskatotsavstarpējās identitātesarī. Atcerieties, kaabpusējsir viens, kas dalīts ar ("virs") jūsu numuru - to sauc arī par apgriezto skaitli.
Tā kā kosekants ir sinusa abpusējs:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Jūs varat domāt arī par kosekantu, izmantojot sinusa definīciju. Piemēram, sinusa = pretējā puse / hipotenūza. Tā apgrieztā vērtība būs otrādi apgrieztā daļa, kas ir hipotenūza / pretējā puse.
Līdzīgi kosinusa savstarpējais ir secants, tāpēc tas tiek definēts kā
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {vai} \ frac {\ text {hipotenūze}} {\ text {blakus esošā puse}}
Un tangenta savstarpējais ir kotangents, tātad
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {blakus esošā puse}} {\ text {pretējā puse}}
Pierādījumi Pitagora identitātēm, izmantojot sekantu un kosekantu, ir ļoti līdzīgi sinusa un kosinusa pierādījumiem. Vienādojumus var arī atvasināt, izmantojot "vecāku" vienādojumu grēks2(θ) + cos2(θ) = 1. Sadaliet abas puses ar cos2(θ), lai iegūtu identitāti 1 + iedegums2(θ) = sek2(θ). Sadaliet abas puses ar grēku2(θ), lai iegūtu identitāti 1 + bērnu gultiņa2(θ) = csc2(θ).
Veiksmi un noteikti iegaumējiet trīs Pitagora identitātes!