Kad sākat veikt trigonometriju un aprēķinus, jūs varat saskarties ar tādiem izteicieniem kā grēks (2θ), kur jums tiek lūgts atrast vērtībuθ. Spēlējot izmēģinājumus un kļūdas, izmantojot diagrammas vai kalkulatoru, lai atrastu atbildi, var būt no izvilkta murga līdz pilnīgi neiespējami. Par laimi, šeit palīdzēs dubultleņķa identitātes. Šie ir īpaši gadījumi, kas pazīstami kā salikta formula, kas izjauc formu funkcijas (A + B) vai (A – B) uz leju funkcijās tikaiAunB.
Dubultleņķa identitātes sinusam
Ir trīs dubultleņķa identitātes, pa vienai sinusa, kosinusa un pieskares funkcijām. Bet sinusa un kosinusa identitāti var rakstīt vairākos veidos. Šeit ir divi sinusa funkcijas dubultleņķa identitātes rakstīšanas veidi:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Kosinusa dubultleņķa identitātes
Ir vēl vairāk veidu, kā rakstīt kosinusa dubultleņķa identitāti:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Tangenta dubultleņķa identitāte
Žēlīgi, ka pieskāriena funkcijai ir tikai viens veids, kā uzrakstīt dubultleņķa identitāti:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Izmantojot dubultleņķa identitātes
Iedomājieties, ka jūs saskaras ar taisnu trīsstūri, kur jūs zināt tā malu garumu, bet ne tā leņķu izmēru. Jums ir lūgts atrastθ, kurθir viens no trijstūra leņķiem. Ja trīsstūra hipotenūzas izmērs ir 10 vienības, blakus jūsu leņķim esošā puse ir 6 vienības un pusē, kas atrodas pretī leņķim, ir 8 vienības, nav svarīgi, ka jūs nezināt mēruθ; lai atrastu atbildi, varat izmantot savas sinusa un kosinusa zināšanas, kā arī vienu no dubultleņķa formulām.
Kad esat izvēlējies leņķi, jūs varat definēt sinusu kā pretējās puses attiecību pret hipotenūzu un kosinusu kā blakus esošās puses attiecību pret hipotenūzu. Tātad tikko sniegtajā piemērā jums ir:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Jūs atrodat šīs divas izteiksmes, jo tās ir vissvarīgākās dubultleņķa formulu pamatelementi.
Tā kā ir tik daudz dubultleņķa formulu, no kurām izvēlēties, varat izvēlēties tādu, kuru ir vieglāk aprēķināt un kas atgriezīs nepieciešamo informācijas veidu. Šajā gadījumā tāpēc, ka jūs zināt grēkuθun cosθjau ir skaidrs, ka ērtākā izteiksme ir:
\ grēks (2θ) = 2 grēks \ cosθ
Jūs jau zināt sinθ un cosθ vērtības, tāpēc aizstājiet tās vienādojumā:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Pēc vienkāršošanas jums būs:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Lielākā daļa trigonometrisko diagrammu tiek dotas decimāldaļās, tāpēc nākamais darbs ir sadalījums, ko pārstāv frakcija, lai to pārveidotu decimāldaļā. Tagad jums ir:
\ grēks (2θ) = 0,96
Visbeidzot atrodiet apgriezto sinusu vai arcīnu 0,96, kas rakstīts kā grēks −1(0.96). Vai, citiem vārdiem sakot, izmantojiet kalkulatoru vai diagrammu, lai tuvinātu leņķi, kura sinusa vērtība ir 0,96. Kā izrādās, tas ir gandrīz precīzi vienāds ar 73,7 grādiem. Tātad 2θ= 73,7 grādi.
Sadaliet katru vienādojuma pusi ar 2. Tas dod jums:
θ = 36,85 \ teksts {grādi}