Ja redzat izteicienus 32 un 53, jūs varētu ar uzplaukumu paziņot, ka tie nozīmē "trīs kvadrātā" un "pieci kubiņos", un varēsit atrast līdzvērtīgus skaitļus bez eksponenti, augšējā labajā stūrī augšpusē cipari, kurus apzīmē augšējie indeksi. Šie skaitļi šajā gadījumā ir 9 un 125.
Bet ko darīt, ja, teiksim, vienkāršas eksponenciālas funkcijas vietā, piemēram, y = x 3, tā vietā jums jāatrisina vienādojums, piemēram, y = 3x. Šeit x, atkarīgais mainīgais, parādās kā eksponents. Vai ir veids, kā šo mainīgo novilkt no sava asara, lai ar to vieglāk tiktu galā matemātiski?
Faktiski ir, un atbilde ir eksponentu dabiskajā papildinājumā, kas ir jautri un noderīgi daudzumi, kas pazīstami kā logaritmi.
Kas ir eksponenti?
An eksponents, ko sauc arī par jauda, ir saspiests veids, kā pats par sevi izteikt atkārtotas skaitļa reizināšanas. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Jebkurš skaitlis, kas tiek paaugstināts līdz 1, saglabā to pašu vērtību; jebkurš skaitlis ar eksponentu 0 ir vienāds ar 1. Piemēram, 721 = 72; 720 = 1.
Eksponenti var būt negatīvi, radot attiecības x−n= 1 / (xn). Tos var izteikt arī kā frakcijas, piemēram, 2(5/3). Ja izsaka kā frakcijas, gan skaitītājam, gan saucējam jābūt veseliem skaitļiem.
Kas ir logaritmi?
Logaritmus vai "žurnālus" var uzskatīt par eksponentiem, kas izteikti kā kaut kas cits, nevis spēks. Tas, iespējams, daudz nepalīdz, tāpēc, iespējams, būs piemērs vai divi.
Izteiksmē 103 = 1,000, skaitlis 10 ir bāze, un tas tiek pacelts trešajā varā (vai spēks trīs). Jūs to varat izteikt šādi: "10 cilvēku bāze, kas paaugstināta līdz trešajai jaudai, ir vienāda ar 1000".
Logaritma piemērs ir žurnāls10(1,000) = 3. Ņemiet vērā, ka skaitļi un to savstarpējā attiecība ir tāda pati kā iepriekšējā piemērā, taču tie ir pārvietoti. Vārdu sakot, tas nozīmē, ka "baļķu bāze 10 no 1000 ir vienāda ar 3."
Labajā pusē esošais lielums ir jauda, līdz kurai ir jāpaaugstina 10 bāze, lai vienāda ar argumentsvai žurnāla ievade, iekavās norādītā vērtība (šajā gadījumā 1000). Šai vērtībai ir jābūt pozitīvai, jo bāze - kas var būt skaitlis, kas nav 10, bet tiek pieņemts, ka to izslēdzot ir 10, piemēram, "log 4" - arī vienmēr ir pozitīva.
Noderīgi logaritma noteikumi
Tātad, kā jūs varat viegli strādāt starp žurnāliem un eksponentiem? Daži noteikumi par žurnālu darbību var sākt strādāt ar eksponentu problēmām.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Atrisināšana eksponentam
Izmantojot iepriekš minēto informāciju, jūs esat gatavs mēģināt atrisināt eksponentu vienādojumā.
Piemērs: ja 50 = 4x, kas ir x?
Ja aizvedīsit žurnālu uz katras puses pamatni 10 un izlaidīsit skaidru pamatnes identifikāciju, tas kļūs par žurnālu 50 = log 4x. No iepriekš redzamās rūtiņas jūs zināt šo žurnālu 4x = x log 4. Tas jūs atstāj
log 50 = x log 4 vai x = (log 50) / (log 4).
Izmantojot izvēlēto kalkulatoru vai elektronisko ierīci, konstatējat, ka risinājums ir (1,689 / 0,602) = 2.82.
Eksponenciālo vienādojumu risināšana ar e
Tie paši noteikumi tiek piemēroti, ja bāze ir e, tā saukto dabiskais logaritms, kura vērtība ir aptuveni 2,7183. Tam vajadzētu būt arī pogai jūsu kalkulatorā. Arī šī vērtība iegūst savu apzīmējumu: logex ir rakstīts vienkārši "ln x".
- Funkcija y = ex i, kur e nav mainīgais, bet konstante ar šo vērtību, ir vienīgā funkcija, kuras slīpums ir vienāds ar paša augstumu visiem x un y.
- Tāpat kā žurnāls1010x = x, ex = x visiem x.
Piemērs: Atrisiniet vienādojumu 16 = e2,7x.
Tāpat kā iepriekš, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, tātad x = 2/77 / 2,7 = 1.03.