Lai gan angļu vārdiem "secība" un "sērija" ir līdzīga nozīme, matemātikā tie ir pilnīgi atšķirīgi jēdzieni. Secība ir skaitļu saraksts, kas izvietoti noteiktā secībā, savukārt sērija ir šāda skaitļu saraksta summa. Ir daudz veidu secību, ieskaitot tās, kuru pamatā ir bezgalīgs skaitļu saraksts. Dažādām secībām un attiecīgajām sērijām ir dažādas īpašības, un tās var dot pārsteidzošus rezultātus.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Secības ir numuru saraksti, kas izvietoti noteiktā secībā saskaņā ar dotajiem noteikumiem. Sērija, kas atbilst secībai, ir skaitļu summa šajā secībā. Sērijas var būt aritmētiskas, tas nozīmē, ka starp sērijas numuriem ir fiksēta atšķirība, vai ģeometriskas, tas nozīmē, ka pastāv fiksēts koeficients. Bezgalīgajām sērijām nav galīgā numura, taču noteiktos apstākļos tām joprojām var būt fiksēta summa.
Secību un sēriju veidi
Parastās secības ir aritmētiskas vai ģeometriskas. Aritmētiskā secībā katrs kārtas numurs vai termins atšķiras no iepriekšējā vārda ar tādu pašu summu. Piemēram, ja aritmētiskās secības starpība ir 2, attiecīgā aritmētiskā secība var būt 1, 3, 5... Ja starpība ir -3, secība var būt 4, 1, -2... Aritmētisko secību nosaka sākuma skaitlis un starpība.
Ģeometriskām sekvencēm termini atšķiras ar koeficientu. Piemēram, secība ar koeficientu 2 var būt 2, 4, 8... un secība ar koeficientu 0,75 varētu būt 32, 24, 18... Ģeometrisko secību nosaka sākuma skaitlis un koeficients.
Sēriju veidi ir atkarīgi no pievienotās secības. Aritmētiskā sērija pievieno aritmētiskās secības nosacījumus, un ģeometriskā sērija pievieno ģeometrisko secību.
Galīgas un bezgalīgas sērijas un sērijas
Secības un atbilstošās sērijas var balstīties uz noteiktu terminu skaitu vai bezgalīgu skaitu. Galīgai secībai ir sākuma skaitlis, starpība vai koeficients un fiksēts kopējais terminu skaits. Piemēram, pirmā aritmētiskā secība iepriekš ar astoņiem terminiem būtu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Pirmā ģeometriskā secība iepriekš ar sešiem terminiem būtu 2, 4, 8, 16, 32, 64. Atbilstošās aritmētiskās sērijas vērtība būtu 64, bet ģeometriskā sērija - 126. Bezgalīgajām sekvencēm nav noteikta terminu skaita, un to termini var pieaugt līdz bezgalībai, samazināties līdz nullei vai tuvoties fiksētai vērtībai. Attiecīgajai sērijai var būt arī bezgalīgs, nulle vai fiksēts rezultāts.
Konverģējošā un atšķirīgā sērija
Bezgalīgas sērijas ir atšķirīgas, ja summa tuvojas bezgalībai, kad terminu skaits palielinās. Bezgalīgā sērija ir konverģenta, ja tās summa tuvojas tādai bezgalīgai vērtībai kā nulle vai cits fiksēts skaitlis. Sērijas ir konverģentas, ja pamatā esošās secības nosacījumi ātri tuvojas nullei.
Sērija, pievienojot bezgalīgas 1., 2., 4. kārtas secības... ir atšķirīgs, jo secības nosacījumi turpina pieaugt, ļaujot summai sasniegt bezgalīgu vērtību, pieaugot terminu skaitam. Sērija 1, 0,5, 0,25... ir konverģents, jo termini ātri kļūst ļoti mazi.
Kaut arī secības ir sakārtotas, numuru un sēriju saraksti ir summas, abi var būt svarīgi rīki novērtējot skaitļu kopas, konverģences vai divergences īpašībām var būt reālā dzīve sekas. Atšķirīga sērija bieži attēlo nestabilu stāvokli, savukārt konverģenta sērija bieži nozīmē, ka process vai struktūra būs stabila.