Matemātikā apgalvojuma noraidīšanai tiek izmantots pretpiemērs. Ja vēlaties pierādīt, ka apgalvojums ir patiess, jums jāuzraksta pierādījums, lai pierādītu, ka tas vienmēr ir patiess; ar piemēru minēt nepietiek. Salīdzinot ar pierādījuma rakstīšanu, pretparauga rakstīšana ir daudz vienkāršāka; ja vēlaties parādīt, ka apgalvojums nav patiess, jums jāsniedz tikai viens scenārija piemērs, kurā apgalvojums ir nepatiess. Lielākā daļa algebras pretpiemēru ir saistītas ar skaitliskām manipulācijām.
Divas matemātikas klases
Pierādījumu rakstīšana un pretpiemēru atrašana ir divas no matemātikas pamatklasēm. Lielākā daļa matemātiķu pievērš uzmanību pierādījumu rakstīšanai, lai izstrādātu jaunas teorēmas un īpašības. Ja apgalvojumus vai minējumus nevar pierādīt patiesu, matemātiķi tos atspēko, sniedzot pretpiemērus.
Pretpiemēri ir konkrēti
Mainīgo un abstrakto apzīmējumu vietā argumenta noraidīšanai varat izmantot skaitliskus piemērus. Algebrā lielākā daļa pretpiemēru ir saistīta ar manipulācijām, izmantojot dažādus pozitīvos un negatīvos vai nepāra un pāra skaitļus, ekstremālos gadījumus un īpašus skaitļus, piemēram, 0 un 1.
Pietiek ar vienu pretpiemēru
Pretparauga filozofija ir tāda, ka, ja vienā scenārijā apgalvojums neatbilst patiesībai, tad apgalvojums ir nepatiess. Nematemātisks piemērs ir "Toms nekad nav melojis". Lai parādītu, ka šis apgalvojums ir patiess, jums jāsniedz "pierādījums", ka Toms nekad nav teicis melus, izsekojot katru Toma jebkad izteikto apgalvojumu. Tomēr, lai noraidītu šo apgalvojumu, jums jāparāda tikai viens meli, kuru Toms kādreiz ir teicis.
Slaveni pretpiemēri
"Visi galvenie skaitļi ir nepāra." Lai gan gandrīz visi primārie skaitļi, ieskaitot visus skaitļus, kas pārsniedz 3, ir nepāra, "2" ir vienāds ar galveno skaitli; šis apgalvojums ir nepatiess; "2" ir attiecīgais pretpiemērs.
"Atņemšana ir komutatīva." Gan saskaitīšana, gan reizināšana ir komutatīvas - tās var veikt jebkurā secībā. Tas ir, jebkuriem reāliem skaitļiem a un b a + b = b + a un a * b = b * a. Tomēr atņemšana nav komutatīva; pretpiemērs, kas to pierāda, ir: 3 - 5 nav vienāds ar 5 - 3.
"Katra nepārtraukta funkcija ir diferencējama." Absolūtā funkcija | x | ir nepārtraukts visiem pozitīvajiem un negatīvajiem skaitļiem; bet tas nav diferencējams pie x = 0; kopš | x | ir nepārtraukta funkcija, šis pretpiemērs pierāda, ka ne visas nepārtrauktās funkcijas ir atšķirīgas.