Kvadrātveida saknes bieži sastopamas matemātikas un dabaszinātņu problēmās, un katram studentam, lai risinātu šos jautājumus, ir jāapgūst kvadrātveida sakņu pamati. Kvadrātveida saknes jautā: “kāds skaitlis, reizinot pats par sevi, dod šādu rezultātu”, un tāpēc to izstrāde prasa par cipariem domāt nedaudz savādāk. Tomēr jūs varat viegli saprast kvadrātsakņu likumus un atbildēt uz visiem jautājumiem, kas ar tiem saistīti, neatkarīgi no tā, vai tiem ir nepieciešams tiešs aprēķins vai tikai vienkāršošana.
TL; DR (pārāk ilgi; Nelasīju)
Kvadrātsakne jautā, kurš skaitlis, reizinot pats par sevi, dod rezultātu pēc simbola √. Tātad √9 = 3 un √16 = 4. Katrai saknei tehniski ir pozitīva un negatīva atbilde, taču vairumā gadījumu pozitīvā atbilde jūs interesēs.
Jūs varat koeficientēt kvadrātsaknes tāpat kā parastos skaitļus, tāpēc √ab = √a √bvai √6 = √2√3.
Kas ir kvadrātsakne?
Kvadrātveida saknes ir pretstats skaitļa “kvadrātā” vai reizināšanai ar to pašu. Piemēram, trīs kvadrātā ir deviņi (32 = 9), tātad deviņu kvadrātsakne ir trīs. Simbolos tas tā ir
\ sqrt {9} = 3
Simbols “√” liek jums skaitļa kvadrātsakni uzņemt, un to varat atrast lielākajā daļā kalkulatoru.
Atcerieties, ka katram skaitlim faktiski irdivikvadrātveida saknes. Trīs reizināts ar trim ir vienāds ar deviņiem, bet negatīvais trīs reizināts ar negatīvo trīs arī ir vienāds ar deviņiem, tātad
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {un} \ sqrt {9} = ± 3
± stāvot “plus vai mīnus”. Daudzos gadījumos jūs varat ignorēt negatīvās skaitļu kvadrātsaknes, taču dažreiz ir svarīgi atcerēties, ka katram skaitlim ir divas saknes.
Jums var lūgt ņemt skaitļa “kuba sakni” vai “ceturto sakni”. Kubu sakne ir skaitlis, kas, divreiz reizinot ar sevi, ir vienāds ar sākotnējo skaitli. Ceturtā sakne ir skaitlis, kas, reizinot ar sevi trīs reizes, ir vienāds ar sākotnējo skaitli. Tāpat kā kvadrātveida saknes, tās ir tieši pretējas skaitļu spēka iegūšanai. Tātad, 33 = 27, un tas nozīmē, ka 27 kuba sakne ir 3 vai
\ sqrt [3] {27} = 3
Simbols “∛” apzīmē kuba sakni skaitlim, kas nāk pēc tā. Saknes dažreiz tiek izteiktas arī kā daļējas spējas, tātad
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {un} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Kvadrātveida sakņu vienkāršošana
Viens no sarežģītākajiem uzdevumiem, kas jums var būt jāveic ar kvadrātveida saknēm, ir lielu kvadrātu sakņu vienkāršošana, taču, lai risinātu šos jautājumus, jums vienkārši jāievēro daži vienkārši noteikumi. Kvadrātsaknes var aprēķināt tāpat kā parastos skaitļus. Tā, piemēram, 6 = 2 × 3, tātad
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Lielāku sakņu vienkāršošana nozīmē soli pa solim veikt faktorizāciju un atcerēties kvadrātsaknes definīciju. Piemēram, √132 ir liela sakne, un var būt grūti saprast, ko darīt. Tomēr jūs varat viegli redzēt, ka tas dalās ar 2, tāpēc varat rakstīt
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Tomēr 66 ir arī dalāms ar 2, tāpēc jūs varat rakstīt:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
Šajā gadījumā skaitļa kvadrātsakne, kas reizināta ar citu kvadrātsakni, tikai dod sākotnējo skaitli (kvadrātsaknes definīcijas dēļ), tātad
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Īsāk sakot, jūs varat vienkāršot kvadrātveida saknes, izmantojot šādus noteikumus
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Kas ir kvadrātsakne ...
Izmantojot iepriekš norādītās definīcijas un likumus, jūs varat atrast lielākās daļas kvadrātsaknes. Šeit ir daži piemēri, kas jāapsver.
Kvadrātsakne no 8
To nevar atrast tieši, jo tā nav vesela skaitļa kvadrātsakne. Tomēr vienkāršošanas noteikumu izmantošana dod:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Kvadrātsakne no 4
Tas izmanto vienkāršo kvadrātsakni no 4, kas ir √4 = 2. Problēmu var precīzi atrisināt, izmantojot kalkulatoru, un √8 = 2,8284 ...
Kvadrātsakne no 12
Izmantojot to pašu pieeju, mēģiniet izstrādāt 12 kvadrātsakni. Sadaliet sakni faktoros un pēc tam pārbaudiet, vai jūs varat to atkal sadalīt faktoros. Mēģiniet to izmantot kā prakses problēmu un pēc tam aplūkojiet zemāk redzamo risinājumu:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Arī šo vienkāršoto izteicienu var vai nu izmantot problēmās pēc vajadzības, vai arī precīzi aprēķināt, izmantojot kalkulatoru. Kalkulators to parāda
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Kvadrātsakne no 20
Kvadrātsakni no 20 var atrast tādā pašā veidā:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4,4721….
Kvadrātsakne no 32
Visbeidzot, rīkojieties ar kvadrātsakni no 32, izmantojot to pašu pieeju:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Šeit ņemiet vērā, ka mēs jau aprēķinājām kvadrātsakni no 8 kā 2√2 un ka √4 = 2, tātad:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ...
Negatīvā skaitļa kvadrātsakne
Lai gan kvadrātsaknes definīcija nozīmē, ka negatīvajiem skaitļiem nevajadzētu būt kvadrātsaknei (jo jebkurš skaitlis reizināts pats par sevi dod pozitīvu skaitli kā rezultātā), matemātiķi ar tiem saskārās kā daļu no algebras problēmām un izstrādāja a risinājums. “Iedomātais” skaitlisitiek izmantots, lai apzīmētu “kvadrātsakni no mīnus 1”, un visas citas negatīvās saknes izsaka kā reizinājumui. Tātad
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Šīs problēmas ir sarežģītākas, taču jūs varat iemācīties tās atrisināt, pamatojoties uz definīcijuiun sakņu standarta noteikumi.
Jautājumu un atbilžu piemēri
Pārbaudiet savu izpratni par kvadrātsaknēm, pēc vajadzības vienkāršojot un pēc tam aprēķinot šādas saknes:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Mēģiniet tos atrisināt, pirms aplūkojat tālāk sniegtās atbildes:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196