Avektorsir lielums, ar kuru saistīts gan lielums, gan virziens. Tas atšķiras no askalārsdaudzums, kas atbilst tikai lielumam. Ātrums ir vektoru lieluma piemērs. Tam ir gan lielums (cik ātri kaut kas notiek), gan virziens (virziens, kādā tas virzās.)
Vektorus bieži zīmē kā bultiņas. Bultiņas garums atbilst vektora lielumam, un bultiņas punkts norāda virzienu.
Ir divi veidi, kā strādāt ar vektoru saskaitīšanu un atņemšanu. Pirmais ir grafiski, manipulējot ar pašu vektoru bultiņu diagrammām. Otrais ir matemātiski, kas dod precīzus rezultātus.
Grafiskā vektora saskaitīšana un atņemšana vienā dimensijā
Pievienojot divus vektorus, jūs ievietojat otrā vektora asti pirmā vektora galā, saglabājot vektora orientāciju. Theiegūtais vektorsir vektors, kas sākas no pirmā vektora astes un norāda taisnā līnijā līdz otrā vektora galam.
Piemēram, apsveriet iespēju pievienot vektorusAunBkas norāda tajā pašā virzienā pa līniju. Mēs ievietojam tos “no gala līdz astei” un iegūto vektoru,C, norāda tajā pašā virzienā, un tā garums irAunB.
Vektoru atņemšana vienā dimensijā būtībā ir tāda pati kā pievienošana, izņemot to, ka jūs “apgāžat” otro vektoru. Tas izriet tieši no tā, ka atņemšana ir tāda pati kā negatīvā pievienošana.
Matemātiskā vektoru saskaitīšana un atņemšana vienā dimensijā
Strādājot vienā dimensijā, vektora virzienu var norādīt ar zīmi. Mēs izvēlamies vienu virzienu kā pozitīvo virzienu (parasti kā pozitīvu izvēlas “uz augšu” vai “pa labi”) un jebkuru vektoru, kas norāda šajā virzienā, piešķiram kā pozitīvu lielumu. Jebkurš vektors, kas vērsts negatīvā virzienā, ir negatīvs lielums. Saskaitot vai atņemot vektorus, saskaitiet vai atņemiet to lielumus ar pievienotajām atbilstošajām zīmēm.
Pieņemsim, ka iepriekšējā sadaļā ir vektorsAbija 3 un vektora lielumsBbija 5 balles. Tad iegūtais vektorsC = A + B =8, 8. lieluma vektors, kas vērsts pozitīvā virzienā, un iegūtais vektorsD = A - B =-2, 2. lieluma vektors, kas vērsts negatīvā virzienā. Ņemiet vērā, ka tas atbilst iepriekšējo grafiskajiem rezultātiem.
Padoms. Esiet piesardzīgs, pievienojot tikai viena veida vektorus: ātrums + ātrums, spēks + spēks un tā tālāk. Tāpat kā ar visu matemātiku fizikā, vienībām ir jāsakrīt!
Grafiskā vektora saskaitīšana un atņemšana divās dimensijās
Ja pirmais un otrais vektors Dekarta telpā nav vienā līnijā, to pievienošanai vai atņemšanai varat izmantot to pašu metodi “tip to tail”. Lai pievienotu divus vektorus, vienkārši iedomājieties, kā pacelt otro un novietot asti līdz pirmā galam, vienlaikus saglabājot tā orientāciju, kā parādīts. Iegūtais vektors ir bulta, kas sākas pirmā vektora astē un beidzas otrā vektora galā:
Tāpat kā vienā dimensijā, viena vektora atņemšana no citas ir līdzvērtīga pagriešanai un saskaitīšanai. Grafiski tas izskatās šādi:
•••Dana Čena | Zinātniskā
Piezīme: Dažreiz vektoru pievienošana tiek parādīta grafiski, saliekot abu papildinošo vektoru astes kopā un izveidojot paralelogramu. Rezultātā iegūtais vektors ir šī paralelograma diagonāle.
Matemātiskā vektoru saskaitīšana un atņemšana divās dimensijās
Lai matemātiski pievienotu un atņemtu vektorus divās dimensijās, rīkojieties šādi:
Sadaliet katru vektoru parx-komponents, ko dažreiz sauc par horizontālo komponentu, un ay-komponents, ko dažkārt sauc par vertikālo komponentu, izmantojot trigonometriju. (Ņemiet vērā, ka komponenti var būt vai nu negatīvi, vai pozitīvi, atkarībā no tā, kurā virzienā vektors norāda)
Pievienojietx- abu vektoru komponentus kopā un pēc tam pievienojiety- abu vektoru komponenti kopā. Šis rezultāts dod jumsxunyiegūtā vektora sastāvdaļas.
Rezultātā iegūtā vektora lielumu var atrast, izmantojot Pitagora teorēmu.
Rezultātā iegūtā vektora virzienu var atrast, izmantojot trigonometriju, izmantojot apgriezto pieskares funkciju. Šo virzienu parasti norāda kā leņķi attiecībā pret pozitīvox- ass.
Trigonometrija vektoru papildinājumā
Atgādiniet trīsstūra taisnstūra malu un leņķu attiecības no trigonometrijas.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ teta) = \ frac {b} {a}
Pitagora teorēma:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Lādiņu kustība sniedz klasiskus piemērus tam, kā mēs varētu izmantot šīs attiecības, lai sadalītu vektoru un noteiktu vektora galīgo lielumu un virzienu.
Apsveriet divus cilvēkus, kas spēlē nozveju. Pieņemsim, ka jums saka, ka bumba tiek izmesta no 1,3 m augstuma ar ātrumu 16 m / s 50 grādu leņķī ar horizontāli. Lai sāktu analizēt šo problēmu, jums vajadzēs sadalīt šo sākotnējo ātruma vektoruxunysastāvdaļas, kā parādīts:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ reizes \ cos (50) = 10.3 \ teksts {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ reizes \ sin (50) = 12,3 \ teksts {m / s}
Ja ķērājs palaida garām bumbu un tā ietriecas zemē, ar kādu gala ātrumu tas sitīs?
Izmantojot kinemātiskos vienādojumus, mēs varam noteikt, ka bumbas ātruma galīgās sastāvdaļas ir:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
Pitagora teorēma ļauj mums atrast lielumu:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ teksts {m / s}
Trigonometrija ļauj mums noteikt leņķi:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52,2 \ grāds
Vektoru saskaitīšanas un atņemšanas piemērs
Apsveriet automašīnu, kas noapaļo stūri. Pieņemsimvijo automašīna atrodasx-virziens ar 10 m / s lielumu unvfir 45 grādu leņķī ar pozitīvox-taksis ar lielumu 10 m / s. Ja šīs kustības izmaiņas notiek 3 sekundēs, kāds ir automašīnas paātrinājuma lielums un virziens, kad tas pagriežas?
Atsaukt šo paātrinājumuair vektora lielums, kas definēts kā:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Kurvfunviir attiecīgi galīgie un sākotnējie ātrumi (un tādējādi arī vektoru lielumi).
Lai aprēķinātu vektoru starpībuvf - vi,vispirms mums jāsadala sākotnējie un pēdējie ātruma vektori:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ teksts {m / s}
Tad mēs atņemam fināluxunykomponenti no sākotnējāxunykomponenti, lai iegūtuvf - vi:
Tad mēs atņemamxunysastāvdaļas:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7,07-10 = -2,93 \ teksts {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7,07 -0 = 7,07 \ teksts {m / s}
Tad sadaliet katru pēc laika, lai iegūtu paātrinājuma vektora komponentus:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Izmantojiet Pitagora teorēmu, lai atrastu paātrinājuma vektora lielumu:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ teksts {m / s} ^ 2
Visbeidzot, izmantojiet trigonometriju, lai atrastu paātrinājuma vektora virzienu:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ grāds