Geometrinėje sekoje kiekvienas terminas yra lygus ankstesniam terminui ir pastoviam, ne nulio daugikliui, vadinamam bendruoju veiksniu. Geometrinėse sekose gali būti fiksuotas terminų skaičius arba jos gali būti begalinės. Bet kuriuo atveju geometrinės sekos terminai gali greitai tapti labai dideli, labai neigiami arba labai artimi nuliui. Palyginti su aritmetinėmis sekomis, terminai keičiasi daug greičiau, tačiau tuo tarpu begalinė aritmetika sekos nuolat didėja arba mažėja, geometrinės sekos gali priartėti prie nulio, priklausomai nuo bendro faktorius.
TL; DR (per ilgai; Neskaiciau)
Geometrinė seka yra sutvarkytas skaičių sąrašas, kuriame kiekvienas terminas yra ankstesnio termino ir fiksuoto, nulis nulio koeficiento, vadinamo bendruoju koeficientu, sandauga. Kiekvienas geometrinės sekos terminas yra prieš jį einančių ir po jų einančių terminų geometrinis vidurkis. Begalinės geometrinės sekos, kurių bendras koeficientas yra nuo +1 iki −1, artėja prie nulio ribos kaip terminai yra pridedami, o sekos, kurių bendras faktorius yra didesnis nei +1 arba mažesnis nei −1, eina į pliusą arba minusą begalybė.
Kaip veikia geometrinės sekos
Geometrinę seką nusako jos pradinis skaičiusa, bendras veiksnysrir terminų skaičiusS. Atitinkama bendra geometrinės sekos forma yra:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Bendroji termino formulėngeometrinės sekos (t. y. bet kurio tos sekos termino) yra:
a_n = ar ^ {n-1}
Rekursinė formulė, apibrėžianti terminą ankstesnio termino atžvilgiu, yra:
a_n = ra_ {n-1}
Geometrinės sekos su pradiniu skaičiumi 3, bendro faktoriaus 2 ir aštuonių terminų pavyzdys yra 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Apskaičiuojant paskutinį terminą naudojant aukščiau išvardytą bendrą formą, šis terminas yra:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Naudojant bendrą 4 termino formulę:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Jei norite naudoti rekursyvią formulę 5 terminui, tada terminas 4 = 24 ir a5 lygu:
a_5 = 2 × 24 = 48
Geometrinės sekos ypatybės
Geometrinės sekos turi ypatingų savybių, kiek tai susiję su geometriniu vidurkiu. Geometrinis dviejų skaičių vidurkis yra jų sandaugos kvadratinė šaknis. Pavyzdžiui, 5 ir 20 geometrinis vidurkis yra 10, nes sandauga 5 × 20 = 100, o kvadratinė šaknis iš 100 yra 10.
Geometrinėse sekose kiekvienas terminas yra prieš jį esančio ir po jo esančio termino geometrinis vidurkis. Pavyzdžiui, 3, 6, 12 seka... viršuje 6 yra 3 ir 12 geometrinis vidurkis, 12 yra 6 ir 24 geometrinis vidurkis, o 24 yra 12 ir 48 geometrinis vidurkis.
Kitos geometrinių sekų savybės priklauso nuo bendro faktoriaus. Jei bendras veiksnysryra didesnis nei 1, begalinės geometrinės sekos priartės prie teigiamos begalybės. Jeiryra tarp 0 ir 1, sekos artės prie nulio. Jeiryra tarp nulio ir −1, sekos artės prie nulio, tačiau terminai pakaitomis tarp teigiamų ir neigiamų reikšmių. Jeiryra mažesnis nei −1, terminai krypsta į teigiamą ir neigiamą begalybę, kai keičiasi teigiamos ir neigiamos vertės.
Geometrinės sekos ir jų savybės yra ypač naudingos atliekant mokslinius ir matematinius realaus pasaulio procesų modelius. Konkrečių sekų naudojimas gali padėti tirti populiacijas, kurios auga fiksuotu greičiu per tam tikrą laikotarpį, arba investicijas, kurios uždirba palūkanas. Bendrosios ir rekursinės formulės leidžia ateityje numatyti tikslias vertes, remiantis pradiniu tašku ir bendruoju veiksniu.